Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer


In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer, vernoemd naar de wiskundigen Ernst Zermelo en Abraham Fraenkel en vaak afgekort tot ZF, een van de verschillende axiomatische systemen, die in het begin van de twintigste eeuw werden voorgesteld om een verzamelingenleer te formuleren, zonder de paradoxen van de naïeve verzamelingenleer, zoals de paradox van Russell. In het bijzonder bevat ZF niet het comprehensieaxioma, maar slechts een beperkte variant ervan. Daardoor is het in ZF niet voor elke eigenschap mogelijk een verzameling te vormen van alle objecten die deze eigenschap hebben.

Vandaag de dag is de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer met keuzeaxioma (afgekort tot ZFC, waarbij de C voor het Engelse Choice staat) de standaardvorm van de axiomatische verzamelingenleer en als zodanig het meest gebruikelijke fundament van de wiskunde.

Inhoud

Grondstellingen


Het model van ZFC bestaat uit negen axioma's.

\({\displaystyle \forall x\forall y(x=y\Longleftrightarrow \forall z(z\in x\Longleftrightarrow z\in y))}\)
\({\displaystyle \forall x\forall y\exists p\forall z(z\in p\Longleftrightarrow (z=x\vee z=y))}\)
\({\displaystyle \forall x\exists u\forall y\forall z((z\in y\wedge y\in x)\Rightarrow z\in u)}\)
\({\displaystyle \forall p_{1}\ldots \forall p_{n}\forall x\exists a\forall y(y\in a\Longleftrightarrow (y\in x\wedge \phi (x,y,p_{1},\dots ,p_{n})))}\)
voor elke formule \({\displaystyle \phi }\). In woorden: verzameling \({\displaystyle a}\) bestaat als de afscheiding van verzameling \({\displaystyle x}\) onder de formule \({\displaystyle \phi }\).
\({\displaystyle \exists I(\emptyset \in I\wedge x\in I\Longrightarrow (x\cup \{x\})\in I)}\)
Voor het bestaan van de lege verzameling is gelijkheid en het schema van afscheiding nodig. Voor de binaire vereniging \({\displaystyle x\cup \{x\}}\) is gelijkheid, paar, en vereniging nodig.

Voorbeelden


Een triviaal gevolg van het gelijkheidsaxioma is dat de lege verzameling \({\displaystyle \emptyset }\), als hij bestaat, uniek is. Dit betekent dat twee verzamelingen \({\displaystyle A}\) en \({\displaystyle B}\) beide leeg zijn, dan geldt \({\displaystyle A=B}\). Dit kan als volgt bewezen worden: de universele kwantificatie \({\displaystyle \forall z(z\in A\Longleftrightarrow z\in B)}\) is lediglijk waar, de verzamelingen hebben namelijk beide geen elementen. Uit het gelijkheidsaxioma volgt dan onmiddellijk dat \({\displaystyle A=B}\).

Door het toepassen van het paaraxioma op \({\displaystyle x}\) en \({\displaystyle x}\) volgt dat de singleton \({\displaystyle \{x\}}\) bestaat voor elke verzameling \({\displaystyle x}\).

Von Neumann ordinalen


In een model van verzamelingenleer waar het schema van afscheiding en de axioma's van gelijkheid, paar, vereniging en oneindigheid gelden, kunnen we tellen met de Von Neumann ordinalen. Daartoe beschrijven we eerst de functie opvolger: \({\displaystyle O(x)=x\cup \{x\}}\) omschrijft de opvolger van een verzameling \({\displaystyle x}\). Laat nu voor een inductieve verzameling \({\displaystyle I}\) de minimale inductieve verzameling \({\displaystyle M_{I}}\) zijn, die we definieren als \({\displaystyle M_{I}=\{x\in I\mid \forall J(J{\text{is inductief}}\Longrightarrow x\in J\}}\). Er blijkt dat deze minimale inductieve verzameling onafhankelijk is van de keuze van \({\displaystyle I}\), en we laten \({\displaystyle M}\) de unieke minimale inductieve verzameling beschrijven.

De verzameling van natuurlijke getallen kan nu als volgt omschreven worden:

\({\displaystyle \mathbb {N} :=M=\{0,1,2,\ldots \}}\),

waarbij

Merk op dat het aantal elementen in de von Neumann ordinalen overeenstemt met het getal.

Geschiedenis


In 1908 stelde Ernst Zermelo de eerste axiomatische verzamelingenleer voor, de Zermelo-verzamelingenleer. Deze axiomatische theorie stond de constructie van ordinaalgetallen echter niet toe. Hoewel de meeste "gewone wiskunde" kan worden ontwikkeld zonder ooit gebruik te maken van ordinaalgetallen, zijn ordinaalgetallen een essentieel instrument in de meeste verzameling-theoretische onderzoeken. Bovendien was een van Zermelo's axioma's gebaseerd op een concept, dat van een "definiete" eigenschap, waarvan de operationele betekenis niet duidelijk was. In 1922 stelden Abraham Fraenkel en Thoralf Skolem onafhankelijk van elkaar een operationalisering van deze "definiete" eigenschap voor als één die zou kunnen worden geformuleerd als een eerste orde theorie, waarvan de atomaire formules werden gelimiteerd tot lidmaatschap van de verzameling en identiteit. Zij stelden ook onafhankelijk van elkaar voor om het axioma-schema van de specificatie te vervangen door het axioma-schema van vervanging. Dit schema werd, evenals het axioma van regulariteit (voor het eerst in 1917 voorgesteld door Dimitry Mirimanoff), toegevoegd aan de Zermelo-verzamelingenleer. Dit levert de theorie op die wordt aangeduid met ZF. Door het keuzeaxioma (AC) of een formulering die daaraan gelijkwaardig is toe te voegen aan ZF levert dit ZFC op.

Voetnoten


  1. (en) H. Rubin, J.E. Rubin Equivalents of the Axiom of Choice









Categorieën: Verzamelingenleer




Staat van informatie: 25.09.2021 07:35:44 CEST

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.