Vierkantswortel


De vierkantswortel, tweedemachtswortel, kwadraatwortel of ook eenvoudigweg wortel, is het eenvoudigste voorbeeld van het wiskundige begrip wortel.

Inhoud

Definitie


De vierkantswortel van een niet-negatief reëel getal \({\displaystyle a}\), genoteerd als \({\displaystyle {\sqrt {a}}}\), is het niet-negatieve getal \({\displaystyle b}\) waarvan het kwadraat gelijk is aan \({\displaystyle a}\), dus:

\({\displaystyle {\sqrt {a}}=b\ \Leftrightarrow \ b\geq 0{\text{ en }}b^{2}=a}\)

Niet-negatief betekent 0 of groter dan 0. In principe zou een vierkantswortel ook een negatief reëel getal b kunnen zijn: het kwadraat levert dezelfde a op omdat min maal min plus is. Maar om dubbelzinnigheid over het teken (positief of negatief) uit te sluiten, is de vierkantswortel per definitie een niet-negatief getal.

Oplossen van vergelijkingen


De vergelijking \({\displaystyle x^{2}=a}\) met \({\displaystyle a>0}\) heeft twee oplossingen, namelijk \({\displaystyle x_{1}={\sqrt {a}}}\) en \({\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {a}}}\).

Bijvoorbeeld heeft de vergelijking \({\displaystyle x^{2}=2}\) twee oplossingen, namelijk \({\displaystyle x_{1}={\sqrt {2}}}\) en \({\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {2}}}\).

Definitiegebied


Binnen de reële getallen is de vierkantswortel uitsluitend gedefinieerd voor \({\displaystyle a\geq 0}\). De vierkantswortel van een negatief getal bestaat dus niet binnen de reële getallen, maar wel binnen de complexe getallen.

Oorsprong van de naam


De naam vierkantswortel houdt verband met de oorspronkelijke constructie uit de meetkunde. Een getal werd ruimtelijk voorgesteld als de lengte van een lijnstuk, een oppervlak of een inhoud. Een vierkant met oppervlakte \({\displaystyle a}\) heeft zijden met lengte \({\displaystyle {\sqrt {a}}}\). De vierkantswortel trekken wordt dan de zijde van een vierkant vinden. De derdemachtswortel heette ook de cubische wortel of teerlingswortel, omdat aan het vinden van de ribbe van een blok (kubus of teerling) gedacht werd.

Wortel als functie

Om een continue differentieerbare functie te definiëren, beperkt men de wortel als functie tot de absolute waarde waarbij negatieve wortels dus niet zijn toegestaan.

Voor alle reële getallen \({\displaystyle x}\)

\({\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\mbox{als }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{als }}x\leq 0\end{cases}}}\)     

Elementaire voorbeelden


Enkele voorbeelden van vierkantswortels zijn:

Speciale gevallen


Speciale gevallen zijn:

Rekenregels


Bij het werken met vierkantswortels kan gebruik worden gemaakt van de volgende rekenregels, die in wezen dezelfde zijn:

\({\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}\)
\({\displaystyle {\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}}\)

Men moet de bovenstaande rekenregel uiteraard niet toepassen op getallen waarvoor de wortel niet gedefinieerd is. Uit een voorbeeld blijkt dat anders merkwaardige resultaten kunnen ontstaan.

Let op!

\({\displaystyle {\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}\) is niet gelijk aan \({\displaystyle {\sqrt {x+y}}}\)

Verband wortelfunctie met absolute waarde


\({\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|}\) voor elk reëel getal x (zie absolute waarde)

Verband met gebroken exponent


Voor alle niet-negatieve reële getallen mag de volgende notatie worden toegepast:

\({\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}}\)

Voor de exponent \({\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}\) en veelvouden daarvan, zijn alle voor het machtsverheffen geldende rekenregels van toepassing.

Verband met algebraïsche, complexe en irrationale getallen


Iedere vierkantswortel van een niet-negatief geheel getal valt onder de algebraïsche getallen, en is geheel als dat getal een kwadraat is, en anders irrationaal. Aantonen dat wortel 2 irrationaal is kan onder andere met een bewijs uit het ongerijmde.

Van een negatief getal kan geen reële vierkantswortel worden berekend. Uit de behoefte om toch een vergelijkbare bewerking op negatieve getallen uit te kunnen voeren, zijn de complexe getallen ontstaan. Er zijn zo voor het getal −1 twee vierkantswortels gedefinieerd, de imaginaire eenheid \({\displaystyle i}\) en \({\displaystyle -i}\).

Hiermee heeft de vergelijking \({\displaystyle x^{2}=a}\) met a < 0 en \({\displaystyle a\in \mathbb {R} }\) (reële getallen) als oplossingen \({\displaystyle {\sqrt {-a}}\cdot i}\) en \({\displaystyle -{\sqrt {-a}}\cdot i}\).

Voorbeeld: de vergelijking \({\displaystyle x^{2}=-3}\) heeft als oplossingen \({\displaystyle {\sqrt {3}}\cdot i}\) en \({\displaystyle -{\sqrt {3}}\cdot i}\).

Met behulp van de complexe getallen is de wortel- of abc-formule algemeen geldig.

Worteltrekken


Het bepalen van de vierkantswortel wordt worteltrekken genoemd. Er bestaat een algoritme om dit met de hand uit te voeren (zie worteltrekken). De procedure, die lijkt op de klassieke staartdeling, staat al vermeld in Nederlandse rekenboeken uit de 17e eeuw.

Ook de derdemachtswortel kan met de hand worden getrokken.

Benaderingen van de vierkantswortels uit de getallen 1 t/m 50


\({\displaystyle {\sqrt {1}}=1}\) \({\displaystyle {\sqrt {11}}\approx 3,\!3166}\) \({\displaystyle {\sqrt {21}}\approx 4,\!5826}\) \({\displaystyle {\sqrt {31}}\approx 5,\!5678}\) \({\displaystyle {\sqrt {41}}\approx 6,\!4031}\)
\({\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1,\!4142}\) \({\displaystyle {\sqrt {12}}\approx 3,\!4641}\) \({\displaystyle {\sqrt {22}}\approx 4,\!6904}\) \({\displaystyle {\sqrt {32}}\approx 5,\!6569}\) \({\displaystyle {\sqrt {42}}\approx 6,\!4807}\)
\({\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1,\!7321}\) \({\displaystyle {\sqrt {13}}\approx 3,\!6056}\) \({\displaystyle {\sqrt {23}}\approx 4,\!7958}\) \({\displaystyle {\sqrt {33}}\approx 5,\!7446}\) \({\displaystyle {\sqrt {43}}\approx 6,\!5574}\)
\({\displaystyle {\sqrt {4}}=2}\) \({\displaystyle {\sqrt {14}}\approx 3,\!7417}\) \({\displaystyle {\sqrt {24}}\approx 4,\!8990}\) \({\displaystyle {\sqrt {34}}\approx 5,\!8310}\) \({\displaystyle {\sqrt {44}}\approx 6,\!6332}\)
\({\displaystyle {\sqrt {5}}\approx 2,\!2361}\) \({\displaystyle {\sqrt {15}}\approx 3,\!8730}\) \({\displaystyle {\sqrt {25}}=5}\) \({\displaystyle {\sqrt {35}}\approx 5,\!9161}\) \({\displaystyle {\sqrt {45}}\approx 6,\!7082}\)
\({\displaystyle {\sqrt {6}}\approx 2,\!4495}\) \({\displaystyle {\sqrt {16}}=4}\) \({\displaystyle {\sqrt {26}}\approx 5,\!0990}\) \({\displaystyle {\sqrt {36}}=6}\) \({\displaystyle {\sqrt {46}}\approx 6,\!7823}\)
\({\displaystyle {\sqrt {7}}\approx 2,\!6458}\) \({\displaystyle {\sqrt {17}}\approx 4,\!1231}\) \({\displaystyle {\sqrt {27}}\approx 5,\!1962}\) \({\displaystyle {\sqrt {37}}\approx 6,\!0828}\) \({\displaystyle {\sqrt {47}}\approx 6,\!8557}\)
\({\displaystyle {\sqrt {8}}\approx 2,\!8284}\) \({\displaystyle {\sqrt {18}}\approx 4,\!2426}\) \({\displaystyle {\sqrt {28}}\approx 5,\!2915}\) \({\displaystyle {\sqrt {38}}\approx 6,\!1644}\) \({\displaystyle {\sqrt {48}}\approx 6,\!9282}\)
\({\displaystyle {\sqrt {9}}=3}\) \({\displaystyle {\sqrt {19}}\approx 4,\!3589}\) \({\displaystyle {\sqrt {29}}\approx 5,\!3852}\) \({\displaystyle {\sqrt {39}}\approx 6,\!2450}\) \({\displaystyle {\sqrt {49}}=7}\)
\({\displaystyle {\sqrt {10}}\approx 3,\!1623}\) \({\displaystyle {\sqrt {20}}\approx 4,\!4721}\) \({\displaystyle {\sqrt {30}}\approx 5,\!4772}\) \({\displaystyle {\sqrt {40}}\approx 6,\!3246}\) \({\displaystyle {\sqrt {50}}\approx 7,\!0710}\)









Categorieën: Rekenen




Staat van informatie: 28.02.2021 03:34:07 CET

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.