Verdelingsfunctie


In de kansrekening en de statistiek is de verdelingsfunctie, ook aangeduid als cumulatieve kansverdelingsfunctie of cumulatieve distributiefunctie (cdf), van een reëelwaardige stochastische variabele de functie waarmee de verdeling van de stochastische variabele beschreven of vastgelegd wordt. De verdelingsfunctie bestaat altijd en voor elke gebeurtenis die de stochastische variabele betreft, kan daarmee de kans op die gebeurtenis bepaald worden. Populair gezegd worden alle kansen betreffende de stochastische variabele bepaald door de verdelingsfunctie.

Elke functie die opgevat kan worden als verdelingsfunctie van een stochastische variabele, wordt ook verdelingsfunctie genoemd. Het betreft dan een functie met de hieronder aangeduide eigenschappen.

Inhoud

Definitie


De verdelingsfunctie van de stochastische variabele \({\displaystyle X}\) op de kansruimte \({\displaystyle (S,\Sigma ,P)}\), is de functie \({\displaystyle F_{X}}\), gedefinieerd voor \({\displaystyle x\in \mathbb {R} }\) door:

\({\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)=P(\{s\in S|X(s)\leq x\})}\)

(Let op het verschil tussen \({\displaystyle X}\) en \({\displaystyle x}\).)

De waarde \({\displaystyle F_{X}(x)}\) van de verdelingsfunctie van \({\displaystyle X}\) in het punt \({\displaystyle x}\), is dus de (cumulatieve) kans op waarden van \({\displaystyle X}\) kleiner dan of gelijk aan \({\displaystyle x}\).

Eigenschappen


Een verdelingsfunctie is een monotoon stijgende, rechtscontinue functie \({\displaystyle F}\) met domein \({\displaystyle \mathbb {R} }\) en bereik \({\displaystyle [0,1]}\), waarvoor geldt:

\({\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0}\)

en

\({\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x)=1}\)

Rechtscontinu betekent:

\({\displaystyle \lim _{x\downarrow a}F(x)=F(a)}\)

Monotoon stijgend betekent:

\({\displaystyle x<y\Rightarrow F(x)\leq F(y)}\)


De verdelingsfunctie \({\displaystyle F_{X}}\) en de verdeling \({\displaystyle P_{X}}\) van een stochastische variabele \({\displaystyle X}\) zijn eeneenduidig met elkaar verbonden door de relatie:

\({\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)=P_{X}((-\infty ,x])}\)

Als de verdelingsfunctie absoluut continu is, dan is ze de integraal van een kansdichtheid. Als de verdeling singulier is, dan is de verdelingsfunctie soms de integraal van een discrete kansfunctie. In het algemeen garandeert de Stelling van Radon-Nikodym-Lebesgue (zie wederzijds singuliere maten) dat de verdeling de som is van een absoluut continu en een singulier gedeelte.

Van de bekende kansverdelingen bestaan tabellen, waarin meestal de verdelingsfunctie getabelleerd is. Uit zo'n tabel kan men dus eenvoudig van die verdeling de linker overschrijdingskans aflezen.

Voorbeeld


Een willekeurig getal \({\displaystyle X}\) tussen 0 en 1 wordt beschreven door de kansdichtheid:

\({\displaystyle f_{X}(x)=1}\) voor \({\displaystyle x\in (0,1)}\) en 0 elders.

De bijbehorende verdelingsfunctie is:

\({\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}0&{\mbox{als }}x\leq 0\\\,x&{\mbox{als }}0<x\leq 1\\1&{\mbox{als }}x>1\end{cases}}}\)

Om de kans te bepalen dat \({\displaystyle X}\) tussen 0,33 en 0,44 ligt, berekenen we:

\({\displaystyle P(0{,}33<X<0{,}44)=P(X<0{,}44)-P(X<0{,}33)=F_{X}(0{,}44)-F_{X}(0{,}33)=0{,}44-0{,}33=0{,}11}\)

Zie ook











Categorieën: Statistiek | Kansrekening




Staat van informatie: 28.09.2021 07:58:06 CEST

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.