Stochastische variabele


(Doorverwezen vanaf Toevalsvariabele)

In de kansrekening is een stochastische variabele of stochastische grootheid een grootheid waarvan de waarde een reëel getal is dat afhangt van de toevallige uitkomst in een kansexperiment. De stochastische variabele, ook toevalsvariabele, kansvariabele of stochast, is een eigenschap van de uitkomst die in een getal is uit te drukken, zoals de leeftijd of het inkomen van een toevallige voorbijganger. Het toeval bepaalt de uitkomst van het experiment, en bijgevolg is de waargenomen waarde van de stochastische variabele ook afhankelijk van het toeval. Bij een onderzoek naar de verdeling van de leeftijd is niet de toevallige voorbijganger zelf, de uitkomst, van belang, maar z'n leeftijd, een eigenschap van de uitkomst. Die leeftijd is in dit geval de stochastische variabele. Zo zijn ook het inkomen van een willekeurig gekozen Nederlander en het aantal keren dat 'kruis' gegooid wordt in een serie van 100 worpen met een munt, stochastische variabelen. Hoewel voor elke mogelijke uitkomst de waarde van de stochastische variabele vastligt, hangt de waargenomen waarde af van het toeval, als gevolg van de toevallige uitkomst. Formeel is een stochastische variabele daarmee een functie die aan elke uitkomst een getal, de waarde van de bedoelde eigenschap, toevoegt.

In veel kansexperimenten, zoals steekproeftrekkingen, wordt uit een populatie op basis van toeval een element, bijvoorbeeld een willekeurige voorbijganger, aangewezen. We vragen deze voorbijganger naar zijn leeftijd, inkomen, en dergelijke. Bij het herhalen hiervan treffen we vermoedelijk een andere voorbijganger met zeer waarschijnlijk andere antwoorden. Om een theoretisch begrip te hebben om over zaken als 'de leeftijd van een willekeurige voorbijganger' te kunnen spreken, is het begrip 'stochastische variabele' ingevoerd. Op basis van toeval wordt een uitkomst aangewezen - een of andere voorbijganger - en aan deze uitkomst wijzen we een getal toe - z'n leeftijd. Hieruit blijkt dat een 'stochastische variabele' een afbeelding is van de uitkomstenruimte naar de reële getallen.

Inhoud

Definitie


Een stochastische variabele \({\displaystyle X}\) is een (meetbare) reële functie op de uitkomstenruimte \({\displaystyle \Omega }\) van een kansruimte.

\({\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }\)

Omdat niet iedere deelverzameling van \({\displaystyle \Omega }\) een gebeurtenis hoeft te zijn, is ook niet noodzakelijk iedere functie op \({\displaystyle \Omega }\) een stochastische variabele. Daarom wordt geëist dat de functie meetbaar is, wat inhoudt dat het origineel van een interval een gebeurtenis is.

Zo kan op basis van toeval een proefpersoon ω worden aangewezen (uitkomst van het kansexperiment) en stelt \({\displaystyle X(\omega )}\) diens gewicht voor. De waarden van de stochastische variabele \({\displaystyle X}\) vormen eigenlijk weer een uitkomstenruimte, met daarop een "kans" bepaald door de kans op de oorspronkelijke uitkomstenruimte. Deze "kans" heet kansverdeling van \({\displaystyle X}\) en geeft voor (meetbare) deelverzamelingen \({\displaystyle B}\) van \({\displaystyle \mathbb {R} }\) de kans dat \({\displaystyle X}\) een waarde aanneemt die ligt binnen \({\displaystyle B.}\)

Het waardenbereik van een stochastische variabele is dus een ‘vertaling’ van de uitkomstenruimte Ω bij een kansexperiment. Soms is het alleen gemakkelijk om formeel een stochastische variabele te introduceren in het geval dat \({\displaystyle \Omega }\) een deelverzameling van \({\displaystyle \mathbb {R} }\) is. De identieke afbeelding is dan de geschikte functie. Als echter Ω bestaat uit kleuren, vormen, weersgesteldheden, namen van paarden bij een paardenrace, etc. dan zal er bij de definitie van de stochastische variabele \({\displaystyle X}\) een eenduidig verband (moeten) worden gelegd tussen \({\displaystyle \Omega }\) en het waardenbereik van \({\displaystyle X}\) (zie het voorbeeld met het dartpijltje).

De formele definitie van een stochastische variabele maakt het mogelijk dit begrip goed in te passen in de formele theorie, maar dat is niet wat ons vooral interesseert. Het belang zit vooral in de kansverdeling van een stochastische variabele, waarmee relevante kansen bepaald kunnen worden.

Generalisatie

Het is in de huidige theorie gebruikelijk een ruimere klasse van meetbare afbeeldingen als stochastische variabelen te benoemen. Zo zijn er ook complexwaardige en meerdimensionale stochastische variabelen, en heel algemeen afbeeldingen naar willekeurige meetbare ruimten.

Een stochastische variabele is een meetbare afbeelding \({\displaystyle X}\) van de kansruimte \({\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}\) naar de meetbare ruimte \({\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {F}})}\).

\({\displaystyle X:\Omega \to {\mathcal {X}}}\)

en meetbaar houdt in dat voor alle \({\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}\) geldt:

\({\displaystyle X^{-1}(F)\in \Sigma }\).

Typen


Men kan verschillende typen stochastische variabelen onderscheiden. Een belangrijk onderscheid is in discrete en continue stochastische variabelen. Daarnaast zijn er gemengde stochastische variabelen, die opgevat kunnen worden als een mengsel van beide typen.

Voorbeeld


Bij het gooien met twee dobbelstenen bestaat de uitkomstenruimte uit de 6² = 36 paren mogelijke ogenaantallen:

\({\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}\times \{1,2,3,4,5,6\}=\{(1,1),(1,2),\dots ,(1,6),(2,1),\dots ,(6,6)\}\,}\).

Het totale aantal geworpen ogen wordt gedefinieerd door de stochastische variabele:

\({\displaystyle X(\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{1}+\omega _{2}\,}\).

Het waardenbereik van \({\displaystyle X}\) is \({\displaystyle \{2,3,\dots ,12\}\,}\).

Door alle deelverzamelingen als gebeurtenis toe te laten, wat in zo'n eenvoudige situatie mogelijk is, zijn er geen problemen betreffende de meetbaarheid van \({\displaystyle X}\), want dan zijn alle functies meetbaar.

Kansverdeling


Een belangrijk aspect van een stochastische variabele is de bijbehorende kansverdeling, die aangeeft wat de kansen zijn op de mogelijke waarden of waardenverzamelingen van de stochastische variabele. In de meeste gevallen is niet de stochastische variabele als afbeelding van belang, maar gaat het om zijn verdeling.

Notatie


Er zijn verschillende notatieconventies voor stochastische variabelen in gebruik. Twee van de meest gebruikte conventies zijn: de stochastische variabele onderstrepen (\({\displaystyle {\underline {x}}}\)) en de stochastische variabele aangeven met een hoofdletter (\({\displaystyle X}\)).










Categorieën: Kansrekening




Staat van informatie: 28.09.2021 07:56:55 CEST

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.