Singulariteit (wiskunde)


In de wiskunde is een singulariteit in het algemeen een punt, waar een bepaalde relevante eigenschap van een wiskundig object niet is gedefinieerd.

De functie

\({\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}\)

bijvoorbeeld kent op de reële getallenlijn een singulariteit in het punt \({\displaystyle x=0}\). De functie lijkt te "ontploffen" tot \({\displaystyle \pm \infty }\) en is in dit punt niet gedefinieerd.

De functie

\({\displaystyle g(x)=|x|}\)

heeft ook een singulariteit in \({\displaystyle x=0}\), omdat de functie op dat punt niet kan worden gedifferentieerd.

Inhoud

Complexe functietheorie


De complexe functietheorie kent vier verschillende vormen van singulariteit. Veronderstel dat \({\displaystyle U}\) een open deelverzameling van het complexe vlak \({\displaystyle \mathbb {C} }\) is, dat het punt \({\displaystyle a}\) een element van \({\displaystyle U}\) is en dat de functie \({\displaystyle f}\) een holomorfe functie is die gedefinieerd is in een omgeving rond \({\displaystyle a}\) die \({\displaystyle a}\) uitsluit: \({\displaystyle U\setminus \{a\}}\).

Meetkunde


Veronderstel dat \({\displaystyle V}\) een affiene variëteit is, dat wil zeggen de oplossingsverzameling van een stelsel van veeltermvergelijkingen in \({\displaystyle n}\) veranderlijken. De raakruimte in een punt \({\displaystyle P}\) wordt bepaald door de veeltermen te vervangen door hun beste lineaire benadering in \({\displaystyle P}\). Elke veelterm \({\displaystyle f}\) afzonderlijk bepaalt een hypervlak door \({\displaystyle P}\) (met als vergelijking \({\displaystyle \mathrm {d} f(P)\cdot (X-P)=0}\)) en de raakruimte is de doorsnede van die hypervlakken.

Het punt \({\displaystyle P}\) heet singulier punt of singulariteit als minstens een van die hypervlakken niet goed bepaald is, omdat \({\displaystyle \mathrm {d} f(P)=0}\), d.w.z. dat alle partiële afgeleiden van de overeenkomstige veelterm nul zijn in \({\displaystyle P}\).

Voorbeeld

De derdegraadsveelterm in twee veranderlijken \({\displaystyle x}\) en \({\displaystyle y}\)

\({\displaystyle f(x,y)=x^{3}-y^{2}}\)

bepaalt een reële kromme in het vlak. De singuliere punten van die kromme vinden we door de partiële afgeleiden van \({\displaystyle f}\) samen gelijk te stellen aan 0:

\({\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=3x^{2}=0}\)
\({\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}=-2y=0}\)

Hieruit volgt dat (0,0) de enige singulariteit op de kromme is.

Zelfintersectie

Een dubbelpunt, of meer in het algemeen een punt waar de variëteit zichzelf snijdt (zodat er verscheidene raakruimtes lijken te bestaan), is altijd een singulariteit.

Een triviaal voorbeeld hiervan is de vlakke kromme die bestaat uit de vereniging van de \({\displaystyle x}\)-as en de \({\displaystyle y}\)-as met vergelijking \({\displaystyle x\cdot y=0.}\)

Een eenvoudig niet-triviaal (en irreducibel) voorbeeld is de kromme bepaald door de vergelijking

\({\displaystyle f(x,y)=y^{2}-x^{2}(x+1)}\)

Differentieerbare functies en catastrofen


De catastrofetheorie bestudeert het lokaal gedrag van functiekiemen rondom singulariteiten. Een singulariteit is in dat verband een kiem van differentieerbare functies

\({\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }\)

met de eigenschap dat \({\displaystyle f(0)=Df(0)=0}\).[1]

Zie ook











Categorieën: Wiskundige analyse




Staat van informatie: 01.04.2022 11:39:43 CEST

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.