Rotatie (vectorveld)


De rotatie (Nederland) of rotor (Vlaanderen) (Engels: curl) is een eigenschap of functie van een driedimensionaal vectorveld. De rotatie in een punt van het veld geeft aan in welke mate de richting van het veld verandert. Vatten we het veld op als een stroming, dan geeft de rotatie in ieder punt aan, hoe snel en om welke as een meestromend deeltje zou draaien. De rotatie laat zich formeel als differentiaaloperator interpreteren en hoort samen met de andere differentiaaloperatoren gradiënt en divergentie tot de vectoranalyse, een deelgebied van de multivariabele analyse.

Voorbeelden


Definitie


In de wiskunde is de rotatie (Nederland) of rotor (Vlaanderen) van een driedimensionaal vectorveld \({\displaystyle {\vec {V}}}\) een nieuw driedimensionaal vectorveld dat is gedefinieerd als het uitwendig product of ook wel vectorieel product van de nabla-operator \({\displaystyle \nabla }\) met het vectorveld \({\displaystyle {\vec {V}}}\):

\({\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {V}}=\nabla \times {\vec {V}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}\\\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}V_{x}\\V_{y}\\V_{z}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial V_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial V_{y}}{\partial z}}\\{\frac {\partial V_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial V_{z}}{\partial x}}\\{\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}\\\end{pmatrix}}}\)

Men schrijft de rotatie van \({\displaystyle {\vec {V}}}\) ook wel als determinant:

\({\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {V}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\V_{x}&V_{y}&V_{z}\end{vmatrix}}}\),

waarin \({\displaystyle \mathbf {i} ,\,\mathbf {j} }\) en \({\displaystyle \mathbf {k} }\) de eenheidsvectoren zijn langs respectievelijk de x-, y- en z-as.

Beschouw voor de eenvoud van de formules een om de z-as draaiende cilinder in plaats van een draaiende schijf. De beweging wordt beschreven door het vectorveld:

\({\displaystyle v_{x}(x,y,z)=-\omega y}\)
\({\displaystyle v_{y}(x,y,z)=\omega x}\)
\({\displaystyle v_{z}(x,y,z)=0}\)

De rotatie is:

\({\displaystyle \operatorname {rot} v={\begin{pmatrix}{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\\{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\\{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0-0\\0-0\\\omega -(-\omega )\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\2\omega \\\end{pmatrix}}}\).

Dit is een draaiing om de z-as.

Zie ook











Categorieën: Wiskundige analyse | Vectorcalculus | Veldentheorie




Staat van informatie: 27.09.2021 10:54:40 CEST

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.