Richtingsafgeleide


In de analyse is de richtingsafgeleide van een functie van meer variabelen een generalisatie van het begrip partiële afgeleide, waarvan de richting altijd langs een van de coördinaatassen ligt. De richtingsafgeleide breidt dit uit naar een willekeurige richting. De richtingsafgeleide is dus de verandering van de functie in een bepaalde richting.

Bij een differentieerbare functie \({\displaystyle f({\vec {x}})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}\) is in het punt \({\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}\) de richtingsafgeleide van \({\displaystyle f}\) volgens een vector \({\displaystyle {\vec {v}}=(v_{1},\ldots ,v_{n})}\) gedefinieerd als de limiet:

\({\displaystyle D_{\vec {v}}f({\vec {a}})=\lim _{h\to 0}{\frac {f({\vec {a}}+h{\vec {v}})-f({\vec {a}})}{h}}}\)

In de praktijk gebeurt de berekening als het inwendig product van de gradiënt \({\displaystyle \nabla f({\vec {a}})}\) en de vector \({\displaystyle {\vec {v}}}\):

\({\displaystyle D_{\vec {v}}f({\vec {a}})=\nabla f({\vec {a}})\cdot {\vec {v}}}\)

Meestal wordt de definitie aangescherpt door van \({\displaystyle {\vec {v}}}\) te eisen dat het een eenheidsvector is.[1][2] Uit een willekeurige vector kan een eenheidsvector worden afgeleid door deze te normeren. De aanscherping zorgt ervoor dat alleen de richting van \({\displaystyle {\vec {v}}}\) relevant is en niet de grootte.

De richtingsafgeleide is het grootst in de richting van de gradiënt. Als scalair product van de gradiënt en een vector met norm 1, wordt de grootste waarde bereikt als de hoek tussen beide 0 is.

De richtingsafgeleide in de richting van de positieve \({\displaystyle x}\)-as is gelijk aan de partiële afgeleide naar \({\displaystyle x}\). In de richting van de negatieve \({\displaystyle x}\)-as is hij gelijk aan –1 maal de partiële afgeleide naar \({\displaystyle x}\). Dit geldt ook voor de andere variabelen van de gebruikte functie.

Voorbeeld


Gegeven de functie

\({\displaystyle f(x,y)=xy}\)

Gevraagd de richtingsafgeleide langs de eenheidsvector

\({\displaystyle {\vec {v}}=({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}},{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}\)

Oplossing: de gradiënt van de functie \({\displaystyle f}\) is

\({\displaystyle \nabla f(x,y)=(y,x)}\)

Hieruit volgt de gevraagde richtingsafgeleide

\({\displaystyle D_{\vec {v}}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot {\vec {v}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\ (x+y)}\)

Referenties


  1. Voortgezette Analyse , (blz. 12), Radboud Universiteit (Nijmegen), 2007/2008
  2. Thomas, George B. Jr.; and Finney, Ross L. (1979) Calculus and Analytic Geometry, Addison-Wesley Publ. Co., fifth edition, p. 593.









Categorieën: Afgeleide | Multivariabele analyse




Staat van informatie: 19.06.2021 10:29:50 CEST

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.