Raaklijn


De raaklijn of tangent aan een kromme in een punt van die kromme is in de meetkunde de rechte lijn door dat punt die in dat punt dezelfde richting heeft als de kromme. Het punt waarin de raaklijn de kromme raakt, heet raakpunt (soms ook tangentpunt). De raaklijn is de benadering van de kromme in het raakpunt door een rechte lijn. De raaklijn kan de kromme eventueel nog snijden in een ander punt dan het raakpunt.

De raaklijn L in een punt P van de kromme kan gezien worden als de limietstand van de lijn door P en een ander punt Q van de kromme als het punt Q het raakpunt P nadert. Daaruit blijkt ook dat niet in elk punt van een willekeurige kromme een raaklijn bestaat. De kromme zal aan bepaalde eisen van differentieerbaarheid moeten voldoen.

Inhoud

Specifiek geval in twee dimensies


Heel algemeen wordt een vlakke kromme gegeven door de coördinaatfuncties \({\displaystyle x(t)}\) en \({\displaystyle y(t)}\), waarbij de parameter \({\displaystyle t}\) een bepaalde verzameling waarden, meestal een interval, doorloopt. De raaklijn aan die kromme in een punt \({\displaystyle (x_{0},y_{0})=(x(t_{0}),y(t_{0}))}\) van de kromme gaat door dat punt en heeft dezelfde helling als de kromme. De vergelijking van de raaklijn wordt het eenvoudigst voorgesteld door:

\({\displaystyle y_{R}(x)-y_{0}=b(x-x_{0})}\)

In het betrokken punt is de helling:

\({\displaystyle b=\left.{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right|_{t=t_{0}}={\frac {y'(t_{0})}{x'(t_{0})}}}\)

mits de afgeleiden bestaan.

Is de kromme de grafiek van de functie \({\displaystyle y(x)}\), dan wordt de raaklijn in het punt \({\displaystyle (x_{0},y_{0})}\) gegeven door:

\({\displaystyle y_{R}(x)-y_{0}=b(x-x_{0})=y'(x_{0})(x-x_{0})}\)

Voorbeeld 1

Een ellips is voor \({\displaystyle t\in [0,2\pi )}\) gegeven door de coördinaatfuncties

\({\displaystyle x(t)=3\sin(t),\quad y(t)=2\cos(t)}\)

De vergelijking van de raaklijn in een punt \({\displaystyle (x(t_{0}),y(t_{0}))}\) aan de ellips is dus:

\({\displaystyle y_{R}(x)=y(t_{0})+b(x-x(t_{0}))=2\cos(t_{0})+b\left(x-3\,\sin(t_{0})\right)}\)

Daarin is:

\({\displaystyle b={\frac {y'(t_{0})}{x'(t_{0})}}=-{\tfrac {2}{3}}\tan(t_{0})}\)

Voorbeeld 2

De raaklijn aan de parabool \({\displaystyle y=x^{2}}\) in het punt \({\displaystyle (x_{0},y_{0})}\) wordt gegeven door:

\({\displaystyle y-y_{0}=2x_{0}(x-x_{0})}\)

Zo is bijvoorbeeld de raaklijn in het punt \({\displaystyle (1,1)}\) de lijn:

\({\displaystyle y=2x-1}\)

Afbeelding


Algemeen geval in drie dimensies


Een kromme in drie dimensies wordt ruimtekromme genoemd, heel algemeen voorgesteld door de parametervoorstelling met de drie coördinaatfuncties \({\displaystyle x(t),y(t)}\) en \({\displaystyle z(t)}\).

Als de ruimtekromme differentieerbaar is in het punt \({\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})=(x(t_{0}),y(t_{0}),z(t_{0}))}\), kan de raaklijn in dat punt bepaald worden met behulp van de afgeleide van de ruimtekromme in dat punt:

\({\displaystyle (x'(t_{0}),y'(t_{0}),z'(t_{0}))}\)

De raaklijn wordt dan beschreven door de functies

\({\displaystyle X(s)=x_{0}+x'(t_{0})\cdot s}\)
\({\displaystyle Y(s)=y_{0}+y'(t_{0})\cdot s}\)
\({\displaystyle Z(s)=z_{0}+z'(t_{0})\cdot s}\)

Indien de ruimtekromme wordt gegeven als snijlijn van twee oppervlakken met vergelijkingen

\({\displaystyle F(x,y,z)=0}\)
\({\displaystyle G(x,y,z)=0}\)

is de richting van de raaklijn evenwijdig aan het vectorproduct van de gradiënten van deze twee uitdrukkingen:

\({\displaystyle [F'_{x},F'_{y},F'_{z}]\ \times \ [G'_{x},G'_{y},G'_{z}]}\)

Zie ook











Categorieën: Differentiaalmeetkunde | Meetkunde




Staat van informatie: 12.05.2021 04:43:28 CEST

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.