Poolverwantschap (kegelsnede)


In de vlakke meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, beschrijft poolverwantschap ten opzichte van een kegelsnede een wederkerige relatie tussen punten, de polen, en lijnen, de poollijnen. Die relatie is invariant voor elke projectieve transformatie van het vlak.

Inhoud

Pool en poollijn


Bij een gegeven een punt \({\displaystyle P}\) en een gegeven kegelsnede \({\displaystyle K}\) wordt de lijnenbundel door \({\displaystyle P}\) bekeken, en meer specifiek de lijnen uit die lijnenbundel die \({\displaystyle K}\) snijden. Op deze lijnen wordt de harmonische verwante van \({\displaystyle P}\) gekozen bij de snijpunten met \({\displaystyle K}\). Deze harmonische verwanten zijn collineair; de dragende lijn \({\displaystyle p}\) heet de poollijn van \({\displaystyle P}\). Andersom heet het punt \({\displaystyle P}\) de pool van \({\displaystyle p}\). Deze definitie blijft geldig als de kegelsnede ontaard is in snijdende of evenwijdige rechten. Elke rechte kan beschouwd worden als poollijn van een dubbelpunt van een ontaarde kegelsnede.

Eigenschappen


Pooldriehoek


Een driehoek waarvan elke zijde de poollijn is van het overstaande hoekpunt ten opzichte van een kegelsnede \({\displaystyle K}\), heet een pooldriehoek van \({\displaystyle K}\) en de kegelsnede een poolkegelsnede van de driehoek (zie de figuur rechts).

Is een volledige vierhoek ingeschreven in een niet-ontaarde kegelsnede \({\displaystyle K}\), dan is zijn diagonaaldriehoek een pooldriehoek van \({\displaystyle K}\).

Vergelijking van de poollijn van een punt t.o.v een kegelsnede met een canonieke vergelijking


soort kegelsnede vergelijking kegelsnede vergelijking poollijn van \({\displaystyle P(r,s)}\)
Cirkel \({\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}}\) \({\displaystyle rx+sy=R^{2}}\)
Ellips \({\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}\) \({\displaystyle \left({\frac {rx}{a^{2}}}\right)+\left({\frac {sy}{b^{2}}}\right)=1}\)
Hyperbool \({\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}\) \({\displaystyle \left({\frac {rx}{a^{2}}}\right)-\left({\frac {sy}{b^{2}}}\right)=1}\)
Parabool \({\displaystyle y^{2}=2px}\) \({\displaystyle sy=p(x+r)}\)

Coördinaten van de pool van een lijn t.o.v een kegelsnede met een canonieke vergelijking


soort kegelsnede vergelijking kegelsnede Pool van de lijn \({\displaystyle ux+vy+w=0}\)
Cirkel \({\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}}\) \({\displaystyle \left({\frac {-R^{2}u}{w}},\,{\frac {-R^{2}v}{w}}\right)}\)
Ellips \({\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}\) \({\displaystyle (\left({\frac {-a^{2}u}{w}},\,{\frac {-b^{2}v}{w}}\right)}\)
Hyperbool \({\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}\) \({\displaystyle \left({\frac {-a^{2}u}{w}},\,{\frac {b^{2}v}{w}}\right)}\)
Parabool \({\displaystyle y^{2}=2px}\) \({\displaystyle \left({\frac {w}{u}},\,{\frac {-vp}{u}}\right)}\)

Vergelijking van de poollijn van een punt t.o.v een kegelsnede met een algemene vergelijking


In een cartesisch coördinatenstelsel is de vergelijking van een kegelsnede van de vorm

\({\displaystyle ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0}\)

De poollijn van het punt \({\displaystyle P(r,s)}\) ten opzichte van die kegelsnede is de rechte \({\displaystyle ux+vy+w=0}\) waarbij

\({\displaystyle u=ar+hs+g,\quad v=hr+bs+f,\quad w=gr+fs+c}\)

Pool van een rechte t.o.v een niet ontaarde kegelsnede met een algemene vergelijking


De coördinaten van de pool van de rechte met vergelijking \({\displaystyle ux+vy+w=0}\) bij een niet-ontaarde kegelsnede met vergelijking

\({\displaystyle ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0}\)

kunnen als volgt worden bepaald. De getallen \({\displaystyle p,q,r}\) worden berekend uit de volgende matrixvergelijking:

\({\displaystyle {\begin{bmatrix}p\\q\\r\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&h&g\\h&b&f\\g&f&c\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}u\\v\\w\end{bmatrix}}}\)

De pool is dan het punt met coördinaten \({\displaystyle \left({\frac {p}{r}},\,{\frac {q}{r}}\right)}\)

Vergelijking van een poollijn, afgeleid zonder harmonische verwanten


Gegeven is de ellips met vergelijking \({\displaystyle b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}}\). Daarbij is het punt \({\displaystyle P=(p,q)}\) gelegen buiten de ellips.[1]

Is nu \({\displaystyle PR_{1}}\) een raaklijn uit \({\displaystyle P}\) aan de ellips, waarbij \({\displaystyle R_{1}=(x_{1},y_{1})}\) het raakpunt is, dan is een vergelijking van die raaklijn:

\({\displaystyle b^{2}x_{1}x+a^{2}y_{1}y=a^{2}b^{2}}\)

Omdat het punt \({\displaystyle P}\) op deze lijn ligt, geldt de relatie:

\({\displaystyle b^{2}x_{1}p+a^{2}y_{1}q=a^{2}b^{2}}\)

Bij de andere raaklijn uit \({\displaystyle P}\) aan de ellips met \({\displaystyle R_{2}=(x_{2},y_{2})}\) als raakpunt geldt overeenkomstig:

\({\displaystyle b^{2}x_{2}p+a^{2}y_{2}q=a^{2}b^{2}}\)

Uit beide laatste relaties blijkt dat de coördinaten van de punten \({\displaystyle R_{1},R_{2}}\) voldoen aan de vergelijking:

\({\displaystyle b^{2}px+a^{2}y_{2}qy=a^{2}b^{2}}\)

Aangezien dit een lineaire vergelijking is in \({\displaystyle x}\) en \({\displaystyle y}\), is dit de vergelijking van de lijn door de punten \({\displaystyle R_{1},R_{2}}\): het is de vergelijking van de poollijn \({\displaystyle p}\) van \({\displaystyle P}\) bij de ellips. Het lijnstuk \({\displaystyle R_{1}R_{2}}\) is de zogeheten raakkoorde bij \({\displaystyle P}\). Dus:

Bovenstaande redenering kan analoog worden toegepast voor het afleiden van de vergelijking van de poollijn van een punt \({\displaystyle P=(p,q)}\) bij een cirkel (vergelijking: \({\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}}\)), parabool (vergelijking: \({\displaystyle y^{2}=2ax}\)) en hyperbool (vergelijking: \({\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}\)).[2] Dit leidt dan tot de volgende vergelijkingen van de pool- c.q. raaklijnen:

\({\displaystyle px+qy=R^{2},\,qy=a(x+p),\,{\frac {px}{a^{2}}}-{\frac {qy}{b^{2}}}=1}\)

Zie ook


Noten


  1. D.J.E. Schrek (1959): Beknopte Analytische Meetkunde. Groningen: P. Noordhoff N.V.; par. 69 (vierde druk, 1963).
  2. Zie opvolgend de paragrafen 34, 58 en 81 in [Schrek, 1963].









Categorieën: Meetkunde | Projectieve meetkunde




Staat van informatie: 28.01.2022 01:06:49 CET

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.