Poissonverdeling


Poissonverdeling
Kansfunctie
Verdelingsfunctie

De horizontale as is in beide figuren de index \({\displaystyle k}\). Merk op dat de kansfunctie, dus ook de verdelingsfunctie, alleen voor gehele waarden van \({\displaystyle k}\) is gedefinieerd. Het verbinden van de lijnen duidt niet op continuïteit.
Parameters \({\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}\)
Drager \({\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots \}}\)
Kansfunctie \({\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}}\)
Verdelingsfunctie \({\displaystyle {\frac {\Gamma (k+1,\lambda )}{k!}}}\)
Verwachtingswaarde \({\displaystyle \lambda }\)
Mediaan N/A
Modus \({\displaystyle \lfloor \lambda \rfloor }\)
Variantie \({\displaystyle \lambda }\)
Scheefheid \({\displaystyle \lambda ^{-1/2}}\)
Kurtosis \({\displaystyle \lambda ^{-1}}\)
Entropie \({\displaystyle \lambda [1\!-\!\ln(\lambda )]\!+\!e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\ln(k!)}{k!}}}\)
Moment-
genererende functie
\({\displaystyle \exp(\lambda (e^{t}-1))}\)
Karakteristieke functie \({\displaystyle \exp(\lambda (e^{it}-1))}\)
Portaal    Wiskunde

De poissonverdeling is een discrete kansverdeling, die met name van toepassing is voor stochastische variabelen die het voorkomen van bepaalde voorvallen tellen gedurende een gegeven tijdsinterval, afstand, oppervlakte, volume etc.

De poissonverdeling is genoemd naar Siméon Poisson, die deze kansverdeling ontdekte en samen met zijn statistische theorie in 1838 publiceerde in zijn werk Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile.

Als \({\displaystyle X}\) de stochastische variabele is die het aantal voorvallen telt, dan is volgens de poissonverdeling de kans dat er precies \({\displaystyle k}\) voorvallen plaatsvinden, met \({\displaystyle k}\) een natuurlijk getal: 0, 1, 2, ... :

\({\displaystyle P(X=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }}\)

Hierin is:

Inhoud

Poissonproces


Soms wordt \({\displaystyle \lambda }\) iets anders gebruikt, namelijk als het verwachte aantal voorvallen per tijdseenheid. In dat geval is, met \({\displaystyle N_{t}}\) het aantal voorvallen dat optreedt vóór tijdstip \({\displaystyle t}\):

\({\displaystyle P(N_{t}=k)=f(k;\lambda t)={\frac {(\lambda t)^{k}}{k!}}e^{-\lambda t}}\),

en de wachttijd \({\displaystyle T}\) tot het eerste voorval is een continue willekeurige variabele met een exponentiële verdeling. Deze verdeling kan worden afgeleid uit het feit dat

\({\displaystyle P(T>t)=P(N_{t}=0)=e^{-\lambda t}}\)

Wanneer men de tijd erbij betrekt, dan heeft men een 1-dimensionaal poissonproces, waarin men zowel de discrete poissongedistribueerde toevalsgrootheden heeft die het aantal aankomsten in elk tijdsinterval tellen, als de continue erlang-gedistribueerde wachttijden. Er bestaan ook poissonprocessen met een graad groter dan een.

Voorkomen in de praktijk


De poissonverdeling komt voor in relatie met zogenaamde poissonprocessen. Hij is van toepassing op diverse fenomenen die een discrete natuur hebben, dat wil zeggen dat ze 0, 1, 2, 3... keer voorkomen gedurende een gegeven tijdsinterval of in een bepaald gebied, wanneer de kans op het evenement constant is in de tijd of in de ruimte. Voorbeelden zijn:

Verband met de binomiale verdeling


De poissonverdeling kan afgeleid worden als limietgeval van een binomiale verdeling met parameters \({\displaystyle n}\) en \({\displaystyle \lambda /n}\), als \({\displaystyle n}\) naar oneindig gaat. Dat is de kansverdeling van het aantal gelukte pogingen uit \({\displaystyle n}\), met als kans \({\displaystyle \lambda /n}\) op succes voor elke poging. Laat \({\displaystyle X_{n}}\)binomiaal verdeeld zijn met parameters \({\displaystyle n}\) en \({\displaystyle \lambda /n}\), dan is

\({\displaystyle {\begin{aligned}P(X_{n}=k)&={n! \over k!(n-k)!}\left({\lambda \over n}\right)^{k}\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n-k}\\&=\left[{\frac {n!}{n^{k}\left(n-k\right)!}}\right]{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}} _{\to \exp \left(-\lambda \right)}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}} _{\to 1}\to {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\end{aligned}}}\)

want

\({\displaystyle {\frac {n!}{n^{k}\left(n-k\right)!}}={\frac {n(n-1)\cdots {\big (}n-(k-1){\big )}}{n^{k}}}=1\cdot (1-{\tfrac {1}{n}})\cdots (1-{\tfrac {k-1}{n}})\to 1}\)

Eigenschappen


\({\displaystyle \mathrm {E} X=\sum _{k=0}^{\infty }k\cdot {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{(k-1)!}}e^{-\lambda }=\lambda \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{m}}{m!}}e^{-\lambda }=\lambda }\)
\({\displaystyle \mathrm {E} X(X-1)=\sum _{k=0}^{\infty }k(k-1)\cdot {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{(k-2)!}}e^{-\lambda }=\lambda ^{2}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{m}}{m!}}e^{-\lambda }=\lambda ^{2}}\),
dus
\({\displaystyle \operatorname {var} (X)=\mathrm {E} X^{2}-(\mathrm {E} X)^{2}=\mathrm {E} X(X-1)+\mathrm {E} X-\lambda ^{2}=\lambda }\)
\({\displaystyle {\frac {P(X=k-1)}{P(X=k)}}={\frac {k}{\lambda }}}\)

dus

\({\displaystyle k<\lambda \Rightarrow P(X=k-1)<P(X=k)}\)
\({\displaystyle k>\lambda \Rightarrow P(X=k-1)>P(X=k)}\)
\({\displaystyle P(X\leq k)\approx P(Y\leq k+0{,}5)}\)
\({\displaystyle {\begin{aligned}P(N+M=k)&=\sum _{n=0}^{k}P(N=n)P(M=k-n)\\&=\sum _{n=0}^{k}{\frac {\lambda ^{n}\mu ^{k-n}}{n!(k-n)!}}e^{-(\lambda +\mu )}\\&={\frac {1}{k!}}e^{-(\lambda +\mu )}\sum _{n=0}^{k}{\frac {k!}{n!(k-n)!}}\lambda ^{n}\mu ^{k-n}\\&={\frac {(\lambda +\mu )^{k}}{k!}}e^{-(\lambda +\mu )}\end{aligned}}}\)









Categorieën: Discrete verdeling




Staat van informatie: 25.09.2021 06:25:52 CEST

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.