Partiële afgeleide


In de multivariabele analyse, een deelgebied van de wiskunde, is een partiële afgeleide van een functie van een aantal variabelen, de afgeleide waarbij slechts een van de variabelen daadwerkelijk als variabele behandeld wordt en de andere als constanten (dit in tegenstelling tot de totale afgeleide, waar alle variabelen mogen variëren). Partiële afgeleiden worden gebruikt in de differentiaalmeetkunde en de vectoranalyse.

Neemt men bijvoorbeeld van de functie

\({\displaystyle f(x,y)=2x+3xy+5x^{2}+b+7y}\)

de partiële afgeleide naar \({\displaystyle x,}\) dan wordt de variabele \({\displaystyle y}\) als constante behandeld (de constante \({\displaystyle b}\) blijft natuurlijk constant). Hieruit volgt:

\({\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=2+3y+10x}\)

De partiële afgeleide van een functie \({\displaystyle f}\) met betrekking tot de variabele \({\displaystyle x}\) wordt op verschillende manieren aangeduid. Om het onderscheid te maken met de gewone afgeleide gebruikt men het ronde partiële-afgeleidesymbool \({\displaystyle \partial }\) in plaats van \({\displaystyle \mathrm {d} ,}\) men noteert:

\({\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}},\ \partial _{x}f,\ f_{x}{\text{ of }}f_{x}^{\prime }.}\)

Het partiële-afgeleidesymbool \({\displaystyle \partial }\) werd geïntroduceerd door Adrien-Marie Legendre (1752 - 1833), raakte vervolgens op de achtergrond, maar won na de herintroductie van dit symbool door Carl Jacobi (1804 - 1851)[1] algemene aanvaarding.

Inhoud

Introductie


Stel dat \({\displaystyle f}\) een functie is van twee variabelen. Bijvoorbeeld,

\({\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.}\)

De grafiek van deze functie definieert een oppervlak in de euclidische ruimte. Voor elk punt op dit oppervlak zijn er een oneindig aantal raaklijnen. Partiële differentiatie is de handeling om een van deze raaklijnen te kiezen en de helling daarvan vinden. Meestal zijn de interessantste lijnen de lijnen die parallel aan het \({\displaystyle xz}\)-vlak en het \({\displaystyle yz}\)-vlak lopen.

Om de helling van de raaklijn aan de functie op \({\displaystyle (1,1,3)}\) te vinden, die parallel loopt aan het \({\displaystyle xz}\)-vlak, wordt de variabele \({\displaystyle y}\) als een constante behandeld. De grafiek en dit vlak worden op de afbeelding aan de rechterkant getoond. Op de afbeelding daaronder ziet men hoe de functie eruitziet in het vlak \({\displaystyle y=1.}\) Door de afgeleide van de vergelijking te vinden, onder de veronderstelling dat \({\displaystyle y}\) constant is, vindt men dat de helling van \({\displaystyle f}\) in het punt \({\displaystyle (x,y,z)}\) gelijk is aan:

\({\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y}\)

Door substitutie in punt \({\displaystyle (1,1,3)}\) vindt men dat de helling in dit punt gelijk is aan 3.

\({\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=3}\)

Dat wil zeggen dat de partiële afgeleide van \({\displaystyle z}\) met betrekking tot \({\displaystyle x}\) in het punt \({\displaystyle (1,1,3)}\) gelijk is aan 3.

Formele definitie


De precieze definitie van een partiële afgeleide van de functie \({\displaystyle f}\) naar de variabele \({\displaystyle x_{i}}\) is als volgt:

Als \({\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }\) een functie is van de variabelen \({\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}\) dan geldt:

\({\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i}+h,x_{i+1},\ldots ,x_{n})-f(x_{1},\ldots ,x_{n})}{h}}}\)

Hierin staat lim voor de limiet.

De richtingsafgeleide generaliseert dit begrip naar een willekeurige, maar vaste richting.

Hogere partiële afgeleide


De partiële afgeleiden, \({\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}\) en \({\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}\) van de functie \({\displaystyle z=f(x,y)}\) zijn vaak zelf functies van \({\displaystyle x}\) en \({\displaystyle y.}\) We zouden deze functies nogmaals partieel kunnen differentiëren naar \({\displaystyle x}\) en/of \({\displaystyle y.}\) Hierdoor ontstaan 4 partiële afgeleiden van de 2de orde:

\({\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}}\)
\({\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}}\)
\({\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}}}\)
\({\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}}\)

Volgens de stelling van Schwarz zijn de laatste twee termen gelijk aan elkaar indien \({\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}}\), \({\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial y}}}\) en \({\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}}}\) bestaan en continu zijn. In dat geval geldt dus

\({\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}}}\)

Voorbeelden


Voorbeeld 1

Zij \({\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }\) gegeven door \({\displaystyle f(x,y)=x^{3}+2xy+{\tfrac {1}{3}}x^{3}y^{4}}\). Dan geldt:

\({\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=3x^{2}+2y+x^{2}y^{4}}\)

In feite beschouwen wordt hier de variabele \({\displaystyle y}\) als constante beschouwd en gedifferentieerd naar de variabele \({\displaystyle x.}\) Op dezelfde wijze volgt:

\({\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}=2x+{\tfrac {4}{3}}x^{3}y^{3}}\)

In het tweede geval wordt \({\displaystyle x}\) beschouwd als een constante.

Voorbeeld 2

We onderzoeken de volgende functie:

\({\displaystyle z=f(x,y)={\sqrt {x^{2}+{\tfrac {1}{y}}}}+\arcsin(xy)\,}\)
\({\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}={\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+{\frac {1}{y}}}}}}+{\frac {y}{\sqrt {1-(xy)^{2}}}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+{\frac {1}{y}}}}}+{\frac {y}{\sqrt {1-(xy)^{2}}}}\,}\)

We beschouwen hier \({\displaystyle y}\) als een constante

\({\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial y}}={\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}+{\frac {1}{y}}}}}}\cdot (-y^{-2})+{\frac {x}{\sqrt {1-(xy)^{2}}}}={\frac {-1}{2y^{2}{\sqrt {x^{2}+{\frac {1}{y}}}}}}+{\frac {x}{\sqrt {1-(xy)^{2}}}}\,}\)

We beschouwen hier \({\displaystyle x}\) als een constante

Voorbeeld 3

In voorbeeld 1 is berekend dat

\({\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=3x^{2}+2y+x^{2}y^{4}}\)

Voor de tweede partiële afgeleide \({\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}}\) geldt:

\({\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right),}\)

dus

\({\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left(3x^{2}+2y+x^{2}y^{4}\right)=2+4x^{2}y^{3}}\)

Zie ook


Voetnoten











Categorieën: Multivariabele analyse | Afgeleide




Staat van informatie: 20.12.2020 04:28:09 CET

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.