Parametervergelijking


Een parametervergelijking is een wiskundige vergelijking waarmee een coördinaat van een wiskundig object, zoals een kromme, een oppervlak, een meetkundig lichaam, gegeven wordt in afhankelijkheid van een of meer parameters. De gezamenlijke parametervergelijkingen vormen de parametervoorstelling of parametrisering van het object. Met andere woorden, meestal worden \({\displaystyle x}\)-, \({\displaystyle y}\)- en \({\displaystyle z}\)-waarden uitgedrukt als functie van de parameter(s). Als er maar één parameter is, hoort bij elke parameterwaarde één punt. Dit punt zal een kromme beschrijven als die parameter vloeiend verandert, mits het continue functies zijn. Met twee parameters verkrijgt men op analoge wijze een oppervlak.

Inhoud

Voorbeelden


Ellips

Een voorbeeld van parametervergelijkingen is:

\({\displaystyle x=3\cos(t)}\)
\({\displaystyle y=\sin(t)}\)

Als de parameter \({\displaystyle t}\) vloeiend verandert, beschrijft het punt \({\displaystyle (x,y)}\) een vaste ellips.

Een categorie bijzondere parameterkrommen wordt gevormd door de zogenaamde lissajousfiguren, waarin het punt dat de kromme doorloopt, onderhevig is aan zowel een horizontale als een verticale harmonische trilling. Een voorbeeld hiervan is het hierboven gegeven voorbeeld van de ellips.

Grafiek

De grafiek van een functie kan opgevat worden als een parametervergelijking met de variabele \({\displaystyle x}\) als parameter.

Sfeer (boloppervlak)

De algemene cartesiaanse vergelijking van een boloppervlak of sfeer met straal \({\displaystyle r}\) en middelpunt in \({\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}\) wordt gegeven door

\({\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}}\)

Door substitutie in de cartesiaanse vergelijking kan men aantonen dat volgende uitdrukkingen een parametervoorstelling leveren voor hetzelfde boloppervlak:

\({\displaystyle x=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi }\)
\({\displaystyle y=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \qquad (0\leq \varphi \leq 2\pi {\mbox{ en }}0\leq \theta \leq \pi )}\)
\({\displaystyle z=z_{0}+r\cos \theta }\)

Algemeen


Een parametervergelijking is een vectorfunctie van \({\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}\) naar \({\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\), met \({\displaystyle m}\) het aantal parameters en \({\displaystyle n}\) het aantal coördinaten. In wiskundige notatie wordt dit

\({\displaystyle {\vec {P}}(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{m})=(x_{1}(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{m}),x_{2}(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{m}),\ldots ,x_{n}(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{m}))}\)

Belangrijkste gevallen

Voor een kromme in twee dimensies, een vlakke kromme, wordt dit

\({\displaystyle {\vec {P}}(t)=(x(t),y(t))}\)

En dus specifiek voor de grafiek van een functie van \({\displaystyle \mathbb {R} }\) naar \({\displaystyle \mathbb {R} }\)

\({\displaystyle {\vec {P}}(t)=(t,f(t))}\)

Voor een kromme in drie dimensies, een ruimtekromme, wordt dit

\({\displaystyle {\vec {P}}(t)=(x(t),y(t),z(t))}\)

Voor een oppervlak in drie dimensies wordt dit

\({\displaystyle {\vec {P}}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}\)

En dus specifiek voor de grafiek van een functie van \({\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}\) naar \({\displaystyle \mathbb {R} }\)

\({\displaystyle {\vec {P}}(u,v)=(u,v,f(u,v))}\)

Afgeleiden van een parametrische functie in twee dimensies

Voor een kromme in twee dimensies,

\({\displaystyle {\vec {P}}(t)=(x(t),y(t))}\)

worden de eerste en tweede afgeleiden van \({\displaystyle y}\) naar \({\displaystyle x}\) gegeven door:

\({\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\ =\ {\frac {y'(t)}{x'(t)}}}\)
\({\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}\ =\ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)\cdot {\frac {1}{(x'(t))^{2}}}}\)

Zie ook











Categorieën: Multivariabele analyse | Wiskundige vergelijking




Staat van informatie: 28.09.2021 12:58:25 CEST

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.