Overaftelbare verzameling


(Doorverwezen vanaf Overaftelbaarheid)

Een overaftelbare verzameling is in de wiskunde een verzameling waarvan de elementen niet afgeteld kunnen worden. Intuïtief betekent dit dat de verzameling wezenlijk meer elementen bevat dan de natuurlijke getallen. Het gaat hier om de term "wezenlijk". Een verzameling die naast alle natuurlijke getallen nog meer elementen bevat, kan best aftelbaar zijn, zoals de gehele getallen.

Een voorbeeld van een overaftelbare verzameling vormen de reële getallen groter dan 2 en kleiner dan 3. Daarvan zijn er zo veel dat ze niet zijn af te tellen. Daarom heet deze verzameling overaftelbaar.

Meer precies is elke oneindige verzameling overaftelbaar die niet in een bijectief verband staat met de verzameling \({\displaystyle \mathbb {N} }\) der natuurlijke getallen en dus een hogere kardinaliteit heeft dan \({\displaystyle \aleph _{0}}\).

Het diagonaalbewijs van Cantor is een bewijs uit het ongerijmde dat de reële getallen niet afgeteld kunnen worden; ze zijn dus overaftelbaar. Ook de verzameling van de transcendente getallen is overaftelbaar.

Volgens de continuümhypothese is er geen overaftelbare verzameling met een kleiner kardinaliteit dan de reële getallen.

Verzameling en machtsverzameling


Met een generalisatie van het diagonaalbewijs van Cantor kan bewezen worden dat de machtsverzameling \({\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}\) van een oneindige verzameling \({\displaystyle S}\) overaftelbaar is. Algemeen geldt dat de machtsverzameling een hogere kardinaliteit heeft dan de verzameling zelf. Daarmee ontstaat de mogelijkheid steeds klassen van hogere kardinaliteit te vormen.

Zie ook











Categorieën: Verzamelingenleer | Kardinaalgetal




Staat van informatie: 27.09.2021 09:44:02 CEST

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.