Orthogonaal


In de twee- of driedimensionale euclidische meetkunde zegt men van twee objecten dat zij orthogonaal (van Oudgrieks: ὀρθός (orthos), recht en γωνία (gonia), hoek) zijn, als zij ten opzichte van elkaar een rechte hoek vormen, of anders gezegd loodrecht (haaks) op elkaar staan. Dit wordt wel aangegeven door het teken \({\displaystyle \perp }\) tussen de objecten te plaatsen. Ook van meer dan twee objecten zegt men dat zij orthogonaal zijn, als elk tweetal van deze objecten orthogonaal is.

In andere takken van de wiskunde spreekt men ook over orthogonale objecten zonder dat er nog enig verband bestaat met het gewone begrip rechte hoek of loodrechte stand. Orthogonaliteit van objecten heeft dan een specifieke betekenis die veelal verbonden is met de aard van die objecten. Hierna volgen een paar voorbeelden.

In de statistiek wordt met de term ook wel volledige afwezigheid van correlatie tussen twee variabelen bedoeld.

Inhoud

Inproduct


Voor objecten waarvoor een inproduct gedefinieerd is, wordt de hoek tussen deze objecten afgeleid van dit inproduct. Twee objecten met een inproduct gelijk aan 0 heten dan orthogonaal.

Vectoren


In de Euclidische meetkunde in \({\displaystyle n}\) dimensies wordt het inproduct van twee vectoren \({\displaystyle x}\) en \({\displaystyle y}\) gedefinieerd door:

\({\displaystyle \langle x,y\rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\ldots +x_{n}y_{n}}\)

Voor twee orthogonale vectoren \({\displaystyle x}\) en \({\displaystyle y}\) geldt dus:

\({\displaystyle \langle x,y\rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\ldots +x_{n}y_{n}=0}\)

Zij staan dan in de gebruikelijke voorstelling loodrecht op elkaar. Zo zijn bijvoorbeeld in het platte vlak de vectoren (1,1) en (2,–2) orthogonaal. Evenzo de vectoren (1,3) en (6,–2). In de driedimensionale ruimte zijn bijvoorbeeld de vectoren (–1,1,1) en (2,1,1) orthogonaal.

Als het stel vectoren \({\displaystyle (e_{1},e_{2},\ldots )}\) orthogonaal is en tevens elk van de vectoren de norm 1 heeft, noemen we ze ook wel orthonormaal. Er geldt dan voor iedere \({\displaystyle i}\) en \({\displaystyle j}\):

\({\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =\delta _{ij}={\begin{cases}0&{\mbox{als }}i\neq j\\1&{\mbox{als }}i=j\end{cases}}}\)


Een verwant begrip is het orthogonaal complement van een lineaire deelruimte.

Functies


Voor functies op een domein \({\displaystyle D}\) kan het volgende inproduct gedefinieerd worden:

\({\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{D}f(x)g(x)\,\mathrm {d} x}\).

Twee functies \({\displaystyle f}\) en \({\displaystyle g}\) zijn dan orthogonaal als:

\({\displaystyle \int _{D}f(x)g(x)\,\mathrm {d} x=0}\)

Voor \({\displaystyle D=[0,2\pi ]}\) is bijvoorbeeld:

\({\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin(x)\cos(x)\,\mathrm {d} x=0}\),

dus zijn sin en cos orthogonaal.

Zie ook











Categorieën: Meetkunde | Lineaire algebra




Staat van informatie: 22.12.2020 10:40:53 CET

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.