Norm (vector)


Een norm is een grootte-begrip van de elementen (vectoren) van een vectorruimte.

Een vectorruimte waarop een norm gedefinieerd is noemt men een genormeerde vectorruimte.

Inhoud

Definitie


Een norm \({\displaystyle \|\cdot \|}\) is een reële functie op een vectorruimte over een deellichaam van de complexe getallen, met de volgende eigenschappen:[1]

0. De norm is niet negatief.

\({\displaystyle \|v\|\geq 0}\).

1. Alleen de nulvector heeft norm 0.

\({\displaystyle \|v\|=0\iff v=\mathbf {0} }\)

2. De norm van het scalaire veelvoud van een vector is het product van de norm met de gewone absolute waarde van de scalair:

\({\displaystyle \|\alpha v\|=|\alpha |\cdot \|v\|}\)
Voor reële vectorruimten betekent dit dat de normfunctie positief homogeen is van de eerste graad.

3. De driehoeksongelijkheid. De norm van de som van twee vectoren is niet groter dan de som van de afzonderlijke normen.

\({\displaystyle \|v+w\|\leq \|v\|+\|w\|}\)

Dit zijn niet de minimale eisen voor een norm. Voorwaarde 0 is onnodig en voorwaarde 1 kan worden vervangen door een op zichzelf minder strenge voorwaarde, omdat die in combinatie met de andere voorwaarden equivalent is: \({\displaystyle \|v\|=0\implies v=\mathbf {0} }\). Uit voorwaarde 2 volgt namelijk dat \({\displaystyle \|\mathbf {0} \|=\|0\cdot \mathbf {0} \|=|0|\cdot \|\mathbf {0} \|=0}\). Als bovendien aan voorwaarde 2 en 3 is voldaan, volgt reeds dat aan voorwaarde 0 is voldaan:

\({\displaystyle 0=\textstyle {\frac {1}{2}}\|\mathbf {0} \|=\textstyle {\frac {1}{2}}\|v-v\|\leq \textstyle {\frac {1}{2}}(\|v\|+|-1|\cdot \|v\|)=\|v\|}\)

Metriek


In een genormeerde vectorruimte induceert de norm een afstand \({\displaystyle d(v,w)}\) tussen twee vectoren \({\displaystyle v}\) en \({\displaystyle w}\), gedefinieerd als de norm van de verschilvector:

\({\displaystyle d(v,w)=\|v-w\|}\)

Met deze afstand is de ruimte ook een metrische ruimte.

Als deze metrische ruimte volledig is, wordt ze banachruimte genoemd.[1]

Voorbeelden


\({\displaystyle \|(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\|={\sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+\ldots +|x_{n}|^{2}}}}\)
\({\displaystyle \|(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\|_{p}=(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\ldots +|x_{n}|^{p})^{1/p}}\)
\({\displaystyle \|(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\|_{\infty }=\max(|x_{1}|,|x_{2}|,\ldots ,|x_{n}|)}\)
\({\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}\)
De euclidische norm wordt dus geïnduceerd door het standaardinproduct op \({\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\):
\({\displaystyle \langle x,y\rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n}}\)
of op \({\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}\):
\({\displaystyle \langle x,y\rangle =x_{1}{\overline {y}}_{1}+\ldots +x_{n}{\overline {y}}_{n}}\)
\({\displaystyle \|x\|'=\|Tx\|}\)
\({\displaystyle \|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {tr} (A^{*}A)}}}\)
met \({\displaystyle A^{*}}\) de geconjugeerde getransponeerde matrix van \({\displaystyle A}\).

Seminorm


Een functie die aan voorwaarden 0, 2 en 3 uit de definitie voldoet, maar niet noodzakelijk aan voorwaarde 1, noemt men een seminorm. Het procedé waarmee een genormeerde ruimte tot een metrische ruimte wordt, maakt van een semigenormeerde ruimte een pseudometrische ruimte. De vectoren waarvan de seminorm 0 bedraagt, vormen in dat geval een lineaire deelruimte die gesloten is in de met de pseudometriek geassocieerde topologie.

Op de quotiëntruimte is dan een norm gedefinieerd die aan iedere nevenklasse de pseudonorm van om het even welk element uit die klasse toe te kennen. De topologie van deze norm is dezelfde als de quotiënttopologie voor de equivalentierelatie "heeft afstand 0 tot".

Norm van een lineaire afbeelding


Zie Operatornorm voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Als \({\displaystyle f}\) een lineaire afbeelding is tussen twee genormeerde ruimten \({\displaystyle V}\) en \({\displaystyle W}\) over hetzelfde scalairenlichaam, dan definieert men de operatornorm van \({\displaystyle f}\) als de kleinste bovengrens van de vergrotingen die eenheidsvectoren ondergaan:

\({\displaystyle \|f\|=\sup\{\|f(x)\|_{W};x\in V,\|x\|_{V}=1\}}\)

Deze norm blijkt dan en slechts dan eindig te zijn als \({\displaystyle f}\) continu is ten opzichte van de respectievelijke topologieën van \({\displaystyle V}\) en \({\displaystyle W}\).

De verzameling van alle continue lineaire afbeeldingen tussen \({\displaystyle V}\) en \({\displaystyle W}\)

\({\displaystyle {\mathcal {B}}(V,W)=\{f\colon V\to W,f\,{\hbox{continu lineair}}\}}\)

is opnieuw een genormeerde vectorruimte over hetzelfde lichaam.

Matrices representeren lineaire afbeeldingen tussen twee genormeerde vectorruimten en hebben (naast andere normen zoals de bovengenoemde frobeniusnorm) een overeenkomstige norm, die afhangt van het tweetal normen. Bij de euclidische norm in de beide vectorruimten is de norm van de matrix de spectrale norm, dit is de wortel uit de grootste eigenwaarde van de matrix \({\displaystyle A^{*}A}\), waarbij \({\displaystyle A^{*}}\) de geconjugeerde getransponeerde matrix van \({\displaystyle A}\) is.

Equivalentie van normen


Twee normen \({\displaystyle ||.||_{1}}\) en \({\displaystyle ||.||_{2}}\) op een vectorruimte \({\displaystyle V}\) zijn equivalent als er positieve getallen \({\displaystyle M_{1},M_{2}\in \mathbb {R} }\) bestaan zodat voor alle \({\displaystyle x\in V}\) geldt:

\({\displaystyle M_{1}||x||_{1}\leq ||x||_{2}\leq M_{2}||x||_{1}}\)

Normen zijn dan en slechts dan equivalent als ze dezelfde topologie induceren. Op een eindigdimensionale vectorruimte zijn alle normen equivalent.

Zie ook











Categorieën: Functionaalanalyse | Lineaire algebra | Topologie




Staat van informatie: 27.09.2021 09:43:05 CEST

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.