Lijn (meetkunde)


Een lijn of rechte is een eendimensionale structuur bestaande uit een continue aaneenschakeling van punten. Een lijnstuk is de kortste verbinding tussen twee punten. In Vlaanderen wordt rechte meer gebruikt dan lijn.

Afhankelijk van de context worden in de wiskunde verschillende definities gebruikt. Een nauwkeurige definitie van een lijn en van een punt geven is echter moeilijk, daarom worden in de meetkunde lijnen en punten als grondbegrippen beschouwd. In de wiskunde strekt een lijn zich tot in het oneindige uit en is per definitie recht. Een niet-rechte lijn is dan een kromme.

Er zijn drie soorten rechten te onderscheiden:


Inhoud

Representatie


Er zijn verscheidene manieren om een lijn vast te leggen:

In parametervorm

Als in een xy-assenstelsel de punten \({\displaystyle P}\) en \({\displaystyle Q}\) gegeven zijn door:

\({\displaystyle P=(x_{P},y_{P}),\,Q=(x_{Q},y_{Q})}\),

wordt de lijn in geparametriseerde vorm bepaald door:

\({\displaystyle (x,y)=(1-t)(x_{P},y_{P})+t(x_{Q},y_{Q})}\)

Dit kan ook herschreven worden als:

\({\displaystyle (x,y)=(x_{P},y_{P})+t(x_{Q}-x_{P},y_{Q}-y_{P})}\),

wat overeenkomt met de voorstelling door middel van het punt \({\displaystyle P}\) en de richtingsvector \({\displaystyle {\vec {PQ}}}\).

Voor de beide coördinaten geldt:

\({\displaystyle x=x_{P}+t(x_{Q}-x_{P})}\)
\({\displaystyle y=y_{P}+t(y_{Q}-y_{P})}\)

Met een richtingsvector

Als in een xy-assenstelsel het punt \({\displaystyle P}\) en de richtingsvector \({\displaystyle v}\) gegeven zijn door:

\({\displaystyle P=(x_{0},y_{0}),\,{\vec {v}}=(x_{1},y_{1})}\),

wordt de lijn in geparametriseerde vorm bepaald door:

\({\displaystyle (x,y)=(x_{0},y_{0})+t(x_{1},y_{1})}\),

dus door

\({\displaystyle x=x_{0}+tx_{1}}\)
\({\displaystyle y=y_{0}+ty_{1}}\)

De vergelijking van een lijn

Door eliminatie van de parameter \({\displaystyle y}\) ontstaat de algemene vergelijking voor een lijn in het xy-assenstelsel:

\({\displaystyle px+qy+r=0}\)

Deze kan voor \({\displaystyle q\neq 0}\) worden geschreven als:

\({\displaystyle y=ax+b}\)

Voor \({\displaystyle q=0}\) is de lijn evenwijdig aan de y-as; de vergelijking is:

\({\displaystyle x=c}\)

Daarin is \({\displaystyle a}\) de richtingscoëfficiënt en \({\displaystyle b}\) het intercept, de y-waarde van het snijpunt van de lijn met de y-as.

Met de normaalvergelijking van Hesse

De normaalvergelijking van Hesse beschrijft een lijn door middel van een eenheidsvector \({\displaystyle {\vec {n}}=(n_{1},n_{2})}\) en een reëel getal \({\displaystyle d\geq 0}\). De vector \({\displaystyle {\vec {n}}}\) is een normaalvector van de lijn en \({\displaystyle d}\) is de afstand van de lijn tot de oorsprong. De vergelijking zegt dat het inproduct van \({\displaystyle {\vec {n}}}\) en een punt \({\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2})}\) van de lijn gelijk is aan \({\displaystyle d}\):

\({\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {x}}=n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}=d}\)

Poolcoördinaten

In een plat vlak is de vergelijking in poolcoördinaten \({\displaystyle (r,\,\theta )}\) van een rechte lijn die niet door de oorsprong gaat \({\displaystyle r=b/\cos(\theta -\theta _{0})}\), waarbij \({\displaystyle b}\) de afstand van de lijn tot de oorsprong is en \({\displaystyle \theta _{0}}\)de richting loodrecht op de lijn.

Drie dimensies


Op dezelfde manier geldt in drie dimensies voor de lijn door het punt \({\displaystyle P}\) met richtingsvector \({\displaystyle v}\), gegeven door:

\({\displaystyle P=(x_{0},y_{0},z_{0}),\ {\vec {v}}=(x_{1},y_{1},z_{1})}\),

de geparametriseerde vorm:

\({\displaystyle (x,y,z)=(x_{0},y_{0},z_{0})+t(x_{1},y_{1},z_{1})}\)

De coördinaatfuncties zijn dus:

\({\displaystyle x=x_{0}+tx_{1}}\)
\({\displaystyle y=y_{0}+ty_{1}}\)
\({\displaystyle z=z_{0}+tz_{1}}\)

Ook hieruit kan weer door eliminatie van de parameter \({\displaystyle t}\) een voorstelling van de lijn in de vorm van vergelijkingen gevonden worden. Deze voorstelling kunnen we ook bedenken door de lijn als snijlijn van twee vlakken op te vatten, dus voldoend aan elk van de beide vergelijkingen voor de vlakken:

\({\displaystyle p_{1}x+q_{1}y+r_{1}z+s_{1}=0}\)
\({\displaystyle p_{2}x+q_{2}y+r_{2}z+s_{2}=0}\)

Dragers


De drager van een lijnstuk is de lijn door de eindpunten van dat lijnstuk. Deze definitie geldt ook voor de lijn door het begin- en het eindpunt van een vector.

De definitie van een vlakkenwaaier in drie dimensies is de verzameling van alle vlakken door de snijlijn van twee gegeven snijdende vlakken. Die snijlijn heet ook de drager van de vlakkenwaaier.

Websites











Categorieën: Afbeelding | Meetkunde




Staat van informatie: 27.09.2021 08:58:47 CEST

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.