Legendre-polynoom


In de wiskunde bedoelt men met de term Legendre-polynoom de oplossingen van de differentiaalvergelijking van Legendre. Soms echter bedoelt men de geassocieerde Legendrepolynoom met de term Legendre-polynoom.

Inhoud

Differentiaalvergelijking


De vergelijking waarvan de polynomen een oplossing vormen luidt:

\({\displaystyle {{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}\left[(1-x^{2}){{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}P(x)\right]+n(n+1)P(x)=0}\)

Beide zijn vernoemd naar de Franse wiskundige Adrien-Marie Legendre. De vergelijking komt regelmatig voor in de natuurkunde en de toegepaste wetenschappen, omdat de Laplace-vergelijking in bolcoördinaten de gedaante van deze differentiaalvergelijking van Legendre heeft (althans voor rotatie-symmetrische gevallen, voor de θ-afhankelijkheid, waarbij θ de polaire hoek is)[1].

Een standaardmethode voor de oplossing van deze vergelijking is ontwikkeling van een machtreeks. De oplossing convergeert wanneer \({\displaystyle |x|<1}\). Bovendien is de waarde eindig voor \({\displaystyle x=\pm 1}\), vooropgesteld dat \({\displaystyle n}\) een niet-negatief geheel getal is. In dat geval vormen de oplossingen van de vergelijking een polynome reeks van orthogonale polynomen, de Legendre-polynomen

Iedere Legendre-polynoom \({\displaystyle P_{n}(x)}\) is een veelterm van graad \({\displaystyle n}\) en kan uitgedrukt worden met de formule van Rodrigues:

\({\displaystyle P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{{\rm {d}}^{n} \over {\rm {d}}x^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]}\)

Orthogonaliteit


Een belangrijke eigenschap van de Legendre-polynomen is dat zij, zoals hierboven reeds vermeld, orthogonaal zijn met betrekking tot het \({\displaystyle L^{2}}\) inproduct op het interval \({\displaystyle -1\leq x\leq 1}\):

\({\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,{\rm {d}}x={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}}\)

Daarin is \({\displaystyle \delta _{mn}}\) de Kronecker-delta die gelijk is aan 1 als \({\displaystyle m=n}\) en anders nul.

Een andere manier om de polynomen af te leiden is gebruik te maken van de Gram-Schmidtmethode op het inproduct van de polynomen \({\displaystyle \{1,x,x^{2},\ldots \}}\) De reden voor de orthogonaliteit van de polynomen is dat de Legendre-vergelijking gezien kan worden als een Sturm-Liouvillevraagstuk

\({\displaystyle {{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}\left[(1-x^{2}){{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}\right]P(x)=-\lambda P(x)}\),

waar de eigenwaarde \({\displaystyle \lambda }\) overeenkomt met \({\displaystyle n(n+1)}\).

Een andere belangrijke eigenschap van Legendre-polynomen stelt dat:

\({\displaystyle \int \limits _{-1}^{1}f(x)P_{n}(x)\mathrm {d} x=0}\)

zodra \({\displaystyle f(x)}\) een veelterm is van graad strikt kleiner dan \({\displaystyle n}\).

Voorbeelden van Legendre-polynomen


De eerste Legendre-polynomen zijn:

\({\displaystyle n}\) \({\displaystyle P_{n}(x)}\) normalisatiefactor
0 \({\displaystyle 1}\) \({\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}\)
1 \({\displaystyle x}\) \({\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}}\)
2 \({\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)}\) \({\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}}\)
3 \({\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)}\) \({\displaystyle {\sqrt {\tfrac {7}{2}}}}\)
4 \({\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)}\) \({\displaystyle {\sqrt {\tfrac {9}{2}}}}\)
5 \({\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)}\) \({\displaystyle {\sqrt {\tfrac {11}{2}}}}\)
6 \({\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,}\) \({\displaystyle {\sqrt {\tfrac {13}{2}}}}\)

In de onderstaande figuur staan de grafieken van de eerste 6 Legendre-polynomen.

Toepassingen in de natuurkunde


Legendre-polynomen bewijzen hun nut bij de reeksontwikkeling van functies zoals

\({\displaystyle {\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+r^{\prime 2}-2rr'\cos \gamma }}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {r^{\prime k}}{r^{k+1}}}P_{k}(\cos \gamma )}\)

hierbij zijn \({\displaystyle r}\) en \({\displaystyle r'}\) respectievelijk de lengte van de vectoren \({\displaystyle \mathbf {x} }\) en \({\displaystyle \mathbf {x} ^{\prime }}\) en \({\displaystyle \gamma }\) is de hoek tussen de beide vectoren. Deze ontwikkeling is geldig als \({\displaystyle r>r'}\).

Deze uitdrukking wordt bijvoorbeeld gebruikt om de potentiaal van een puntlading te vinden zoals deze ondervonden wordt in het punt \({\displaystyle \mathbf {x} }\) wanneer de lading zich op punt \({\displaystyle \mathbf {x} '}\) bevindt. De ontwikkeling is vooral van nut wanneer men een integraal over een continue ladingsverdeling wil berekenen.

Legendre-polynomen komen voor als oplossingen van de Laplace-vergelijking en de Poissonvergelijking voor de potentiaal \({\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {x} )}\), indien bolcoördinaten worden gebruikt. Daarbij wordt gebruikgemaakt van de methode van scheiding van variabelen en wordt axiale symmetrie verondersteld, zodat er geen afhankelijkheid is van de azimuthale hoek. \({\displaystyle {\widehat {\mathbf {z} }}}\) staat voor de symmetrieas en \({\displaystyle \theta }\) is de hoek tussen de waarnemer en de as \({\displaystyle {\widehat {\mathbf {z} }}}\). De oplossing is dan:

\({\displaystyle \Phi (r,\theta )=\sum _{k=0}^{\infty }\left[A_{k}r^{k}+B_{k}r^{-(k+1)}\right]P_{k}(\cos \theta )}\)

\({\displaystyle A_{k}}\) and \({\displaystyle B_{k}}\) moeten voor de randvoorwaarden van het betreffende probleem bepaald worden [2].

Legendre-polynomen in multipoolontwikkelingen

De Legendre-veelterm is ook van nut bij een reeksontwikkeling van de vorm

\({\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\eta ^{2}-2\eta x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }\eta ^{k}P_{k}(x)}\)

In feite is dit dezelfde ontwikkeling als hierboven in een wat andere vorm die voortvloeit uit de reeksontwikkeling van multipolen. De linkerzijde van de vergelijking genereert Legendre-polynomen

Bijvoorbeeld, de elektrische potentiaal \({\displaystyle \Phi (r,\theta )}\) in bolcoördinaten die voortvloeit uit een puntlading op de \({\displaystyle z}\)-as in het punt \({\displaystyle z=a}\) (Fig. 2) is te schrijven als

\({\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{R}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ar\cos \theta }}}}\)

Als de straal \({\displaystyle r}\) vanaf het punt van waarneming \({\displaystyle \mathbf {P} }\) veel groter is dan \({\displaystyle a}\), is het mogelijk de potentiaal te ontwikkelen tot Legendre-polynomen:

\({\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{r}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta )}\)

hierbij is \({\displaystyle \eta =a/r<1}\) \({\displaystyle x=\cos \theta }\) genomen.

In het omgekeerde geval \({\displaystyle r\ll a}\) kunnen we ook ontwikkelen tot een Legendre-veelterm, wanneer we de rol van \({\displaystyle r}\) en \({\displaystyle a}\) omkeren:

Overige eigenschappen


Legendre-polynomen zijn om en om symmetrisch en antisymmetrisch:

\({\displaystyle P_{k}(-x)=(-1)^{k}P_{k}(x)}\)

Aangezien de differentiaalvergelijking en de orthogonaliteit onafhankelijk zijn van de schaal zijn is de veelterm van nature gestandaardiseerd. Dit betekent dat \({\displaystyle P_{k}(1)=1}\).

Soms noemt men dit genormaliseerd, maar dit is wat verwarrend omdat de norm niet een is, immers:

\({\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,\mathrm {d} x={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}}\)

Een orthonormale versie van de polynoom kan verkregen worden door toevoeging van een normalisatiefactor \({\displaystyle {\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}}\)

\({\displaystyle P_{n,norm}(x)={{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}} \over 2^{n}n!}{{\rm {d}}^{n} \over {\rm {d}}x^{n}}(x^{2}-1)^{n}}\)

De afgeleide aan de eindpunten wordt gegeven door:

\({\displaystyle P_{k}'(1)={\frac {k(k+1)}{2}}}\)

Legendre-veeltermen kunnen opgebouwd worden door gebruik te maken van de relaties

\({\displaystyle (n+1)P_{n+1}=(2n+1)xP_{n}-nP_{n-1}}\)

en

\({\displaystyle {x^{2}-1 \over n}{{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}P_{n}=xP_{n}-P_{n-1}}\)

Een nuttige uitdrukking bij het integreren van de veelterm is:

\({\displaystyle (2n+1)P_{n}={{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}\left[P_{n+1}-P_{n-1}\right]}\)









Categorieën: Algebra | Veelterm | Wiskundige analyse | Wiskundige reeks




Staat van informatie: 21.12.2020 11:24:56 CET

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.