Laplace-operator


De laplace-operator, ook wel laplaciaan genoemd, is een differentiaaloperator genoemd naar de Franse wiskundige Pierre-Simon Laplace en aangeduid door het symbool ∆. In de natuurkunde vindt de operator toepassing bij de beschrijving van voortplanting van golven (golfvergelijking), bij warmtetransport en in de elektrostatica in de laplacevergelijking. In de kwantummechanica stelt de laplace-operator de kinetische energie voor in de schrödingervergelijking. De functies waarvoor de laplaciaan gelijk is aan nul, worden in de wiskunde harmonische functies genoemd.

Voor een scalaire functie \({\displaystyle f}\) op een \({\displaystyle n}\)-dimensionale Euclidische ruimte is de laplace-operator gedefinieerd door:

\({\displaystyle \Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}}\)

Hierin staat \({\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}}\) voor de tweede partiële afgeleide naar de variabele \({\displaystyle x_{i}}\).

Als operator schrijft men daarom wel:

\({\displaystyle \Delta =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}}\).

Alternatief kan men schrijven:

\({\displaystyle \Delta f=\operatorname {div} (\operatorname {grad} f)}\)

Ook kan de Laplace-operator (in rechthoekige coördinaten) uitgedrukt worden in de operator nabla (∇):

\({\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla }\)

Inhoud

Laplaciaan in drie dimensies


In cartesische coördinaten,

\({\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}\)

In cilindercoördinaten:

\({\displaystyle \Delta f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}}\)

In bolcoördinaten:

\({\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}}\)

Voorbeeld


Zij \({\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }\) de functie gedefinieerd door

\({\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+yz^{2}}\)

Dan geldt:

\({\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=2+0+2y=2+2y}\)

Laplace-operator voor een vectorveld


Voor een vectorveld \({\displaystyle A}\) is de Laplace-operator gedefinieerd als:

\({\displaystyle \Delta A=\nabla (\nabla \cdot A)-\nabla \times (\nabla \times A)=\operatorname {grad} (\operatorname {div} A)-\operatorname {rot} (\operatorname {rot} A)}\)

In gewone cartesische coördinaten is het het vectorveld met als componenten de laplaciaan van de componenten van \({\displaystyle A,}\) dus:

\({\displaystyle \Delta A=\Delta {\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Delta A_{x}\\\Delta A_{y}\\\Delta A_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}\\{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}\\{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}\end{bmatrix}}}\)

Unicode


De Laplace-operator is opgenomen in Unicode als U+2206.










Categorieën: Wiskundige analyse | Natuurkunde | Multivariabele analyse




Staat van informatie: 20.12.2020 04:28:26 CET

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.