Kardinaliteit


In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is de kardinaliteit van een verzameling de veralgemening van het "aantal elementen in een verzameling", die ook van toepassing is voor oneindige verzamelingen. Een verzameling is eindig, aftelbaar oneindig, of overaftelbaar. De kardinaliteit van een eindige verzameling is gewoon het aantal elementen. Alle aftelbaar oneindige verzamelingen hebben dezelfde kardinaliteit. Er bestaan overaftelbare verzamelingen van verschillende kardinaliteit.

De kardinaliteit van een verzameling \({\displaystyle A}\) wordt aangeduid met \({\displaystyle |A|}\), met een verticale streep aan elke kant; dit is dezelfde notatie als die voor absolute waarde. De betekenis is afhankelijk van de context. Soms wordt ook wel de notatie \({\displaystyle \#A}\) gebruikt.

Er zijn twee manieren om het begrip kardinaliteit te benaderen — in de ene benadering vergelijkt men verzamelingen rechtstreeks door gebruik te maken van bijecties en injecties, in de andere maakt men gebruik van kardinaalgetallen.

Twee verzamelingen hebben dezelfde kardinaliteit als ze een-op-een op elkaar kunnen worden afgebeeld, dat wil zeggen dat we aan elk element van de ene verzameling één en niet meer dan één element van de andere verzameling toevoegen, en vice versa (zie ook bijectieve functies). Deze verzamelingen worden dan gelijkmachtig of equipotent genoemd.

Inhoud

Vergelijken van verzamelingen


Men kan de volgende drie gevallen onderscheiden:

Twee verzamelingen \({\displaystyle A}\) en \({\displaystyle B}\) hebben dezelfde kardinaliteit als er een bijectie bestaat van \({\displaystyle A}\) naar \({\displaystyle B}\).
De verzameling \({\displaystyle E=\{2,4,6,\ldots \}}\) van even natuurlijke getallen heeft dezelfde kardinaliteit als de verzameling \({\displaystyle \mathbb {N} }\) van natuurlijke getallen zelf, aangezien de functie \({\displaystyle f(n)=2n+2}\) een bijectie is van \({\displaystyle \mathbb {N} }\) naar \({\displaystyle E}\).
\({\displaystyle A}\) heeft een kardinaliteit die strikt groter is dan de kardinaliteit van \({\displaystyle B}\) als er een injectie van \({\displaystyle B}\) naar \({\displaystyle A}\) bestaat, maar geen bijectie.
De verzameling \({\displaystyle \mathbb {R} }\) van alle reële getallen heeft bijvoorbeeld een kardinaliteit die strikt groter is dan de kardinaliteit van de verzameling \({\displaystyle \mathbb {N} }\) van alle natuurlijke getallen, omdat de inclusieafbeelding \({\displaystyle i\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} }\) injectief is, en het kan worden aangetoond dat er geen bijectieve functie van \({\displaystyle \mathbb {N} }\) naar \({\displaystyle \mathbb {R} }\) bestaat.
\({\displaystyle A}\) heeft een kardinaliteit groter dan of gelijk aan de kardinaliteit van \({\displaystyle B}\) als er een injectie van \({\displaystyle B}\) naar \({\displaystyle A}\) bestaat.

Kardinaalgetallen


Zie Kardinaalgetal voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De relatie dat twee verzamelingen dezelfde kardinaliteit hebben wordt gelijkmachtigheid genoemd; gelijkmachtigheid is een equivalentierelatie op de klasse van alle verzamelingen. De equivalentieklasse van een verzameling \({\displaystyle A}\) bestaat onder deze relatie uit al die verzamelingen die dezelfde kardinaliteit als \({\displaystyle A}\) hebben. Er zijn twee manieren om de "kardinaliteit van een verzameling" te definiëren:

  1. De kardinaliteit van een verzameling \({\displaystyle A}\) wordt gedefinieerd als haar equivalentieklasse onder gelijkmachtigheid.
  2. Er wordt voor elke equivalentieklasse een representatieve verzameling aangewezen.

De kardinaliteiten van de oneindige verzamelingen worden aangeduid door

\({\displaystyle \aleph _{0}<\aleph _{1}<\aleph _{2}<\ldots }\)

Voor elke ordinaal \({\displaystyle \alpha }\), is \({\displaystyle \aleph _{\alpha +1}}\) het kleinste kardinaalgetal groter dan \({\displaystyle \aleph _{\alpha }}\).

Eindige verzameling


De kardinaliteit van een eindige verzameling is het aantal elementen in de verzameling. Omgekeerd geldt ook, dat als de kardinaliteit van een verzameling een natuurlijk getal is, die verzameling eindig is. Twee eindige verzamelingen hebben dezelfde kardinaliteit als ze hetzelfde aantal elementen hebben.

Een verzameling met precies één element wordt een singleton of eenpuntsverzameling genoemd.

Oneindige verzameling


Een oneindige verzameling heeft altijd een hogere kardinaliteit dan een eindige (dat wil zeggen, we kunnen elk element van de eindige verzameling op één element van de oneindige verzameling afbeelden, maar omgekeerd kan dat niet). De laagste oneindige kardinaliteit is die van de natuurlijke getallen; deze kardinaliteit wordt \({\displaystyle \aleph _{0}}\) (alef-nul) genoemd. Verzamelingen met deze kardinaliteit heten aftelbaar oneindig. Het diagonaalbewijs van Cantor toont aan dat er ook hogere kardinaliteiten bestaan; deze worden ook met een alef-getal aangegeven: \({\displaystyle \aleph _{0},\,\aleph _{1},\,\aleph _{2},\,\ldots ,\,\aleph _{\omega },\,\ldots }\).

Kardinaliteit van het continuüm

Zie Kardinaliteit van het continuüm voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een van Cantors belangrijkste resultaten was dat het kardinaliteit van het continuüm (c of \({\displaystyle {\mathfrak {c}}}\)) groter is dan de kardinaliteit van de natuurlijke getallen (\({\displaystyle \aleph _{0}}\)); dat wil zeggen dat er meer reële getallen \({\displaystyle \mathbb {R} }\) dan natuurlijke getallen \({\displaystyle \mathbb {N} }\) bestaan. Cantor toonde aan (zie diagonaalbewijs van Cantor) dat

\({\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}}\)

De continuümhypothese stelt dat er geen kardinaalgetal bestaat tussen de kardinaliteit van de reële getallen en de kardinaliteit van de natuurlijke getallen, dat wil zeggen

\({\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}=\beth _{1}}\)

(zie Beet-getal).

De continuümhypothese kan binnen de algemeen aanvaarde Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer, tenminste indien deze axiomatische verzamelingenleer consistent is, noch worden bewezen noch worden verworpen.

Informatica


In de informatica slaat kardinaliteit doorgaans op relaties tussen tabellen of associaties tussen klassen/objecten. Dan is dit het aantal keer dat een relatie/associatie voor kan/mag komen. Dit kan bijvoorbeeld zijn: 0 of meer, 1 of meer, 1, 2, 100, 1 tot 20.

Zie ook











Categorieën: Kardinaalgetal




Staat van informatie: 28.09.2021 07:20:30 CEST

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.