Kansdichtheid


Een kansdichtheid of waarschijnlijkheidsdichtheid is een functie waarmee de kansverdeling van een continue stochastische variabele beschreven kan worden. Zo'n stochastische variabele \({\displaystyle X}\) neemt geen enkele individuele waarde aan met positieve kans. Hier geldt dus (op het eerste gezicht paradoxaal) voor alle \({\displaystyle x}\):

\({\displaystyle P(X=x)=0}\).

Omdat de verdelingsfunctie \({\displaystyle F_{X}}\) van een continue stochastische variabele absoluut continu is en dus (bijna overal) differentieerbaar, kunnen we deze vastleggen door z'n afgeleide \({\displaystyle f_{X}}\), die de kansdichtheid van \({\displaystyle X}\) genoemd wordt.

\({\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}F_{X}(x)}\).

De kansdichtheid geeft voor een continue stochastische variabele een goed beeld hoe de totale 'kansmassa' (in totaal 1) verdeeld is over het waardenbereik van de stochastische variabele.

Met behulp van de kansdichtheid worden kansen bepaald door:

\({\displaystyle P(X\in B)=\int _{B}f_{X}(x){\rm {d}}x}\).

Achtergrond


Discrete stochastische variabelen, die hoogstens aftelbaar veel waarden kunnen aannemen, komen in praktische situaties veelvuldig voor. Soms is het gemakkelijker stochastische variabelen toe te laten die overaftelbaar veel waarden kunnen aannemen, bijvoorbeeld alle waarden in een interval. Het is de vraag of zulke variabelen in de praktijk kunnen voorkomen, maar als model en benadering van de werkelijkheid zijn zij zeer praktisch. Een manier om de verdeling van zulke continue stochastische variabelen vast te leggen is door middel van een functie die de verdeling van de totale kans weergeeft, dus een niet-negatieve functie met totale integraal 1, kansdichtheid genaamd.

Voorbeeld


Een willekeurig getal tussen 0 en 1 wordt voorgesteld als een stochastische \({\displaystyle X}\) die alle waarden tussen 0 en 1 aannemen kan zonder dat bepaalde waarden voorkeur hebben. We kunnen niet zeggen dat alle waarden even waarschijnlijk zijn, want dat is in een continue verdeling altijd het geval, die kans is namelijk 0. Geen voorkeur wil zeggen dat de kansdichtheid tussen 0 en 1 een constante waarde heeft en omdat er geen waarden buiten het interval (0,1) worden aangenomen is de kansdichtheid daar 0. Zo'n verdeling heet een uniforme verdeling op het interval (0,1) en heeft kansdichtheid:

\({\displaystyle f_{X}(x)=1}\) voor \({\displaystyle x\in (0,1)}\) en 0 elders.

Het is belangrijk duidelijk onderscheid te maken tussen kans en kansdichtheid bij continue verdelingen. Om een kans te berekenen mbv. de kansdichtheid moet er altijd een integraal berekend worden. Zo is de kans dat \({\displaystyle X}\) een uitkomst kleiner dan 0,5 heeft:

\({\displaystyle P(X<0{,}5)=\int _{0}^{0{,}5}f(x)\,{\rm {d}}x=\int _{0}^{0{,}5}1\,{\rm {d}}x=0{,}5}\)

De kans op een bepaalde uitkomst, bijvoorbeeld 0,37, is per definitie gelijk aan nul, wat compatibel is met:

\({\displaystyle P(X=0{,}37)=\int _{0{,}37}^{0{,}37}f(x)\,{\rm {d}}x=0}\)

Een belangrijke eigenschap van de kansdichtheid \({\displaystyle f_{X}(x)}\) van een continue stochastische variabele \({\displaystyle X}\) is:

\({\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f_{X}(x)\,{\rm {d}}x=1}\).

Deze eigenschap volgt uit het feit dat de kansdichtheid de afgeleide functie is van de cumulatieve kansverdeling. De hier genoemde integraal is gelijk aan \({\displaystyle P(X<+\infty )=1}\).










Categorieën: Kansrekening




Staat van informatie: 20.12.2020 01:03:52 CET

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.