Isomorfisme


In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een isomorfisme of isomorfie (Oudgrieks: ἴσος isos "gelijk", en μορφή morphē "vorm") een bijectieve afbeelding \({\displaystyle f}\) zodat zowel \({\displaystyle f}\) als zijn inverse \({\displaystyle f^{-1}}\) homomorf zijn, dat wil zeggen, structuurbewarende afbeeldingen.

In de meer algemene setting van de categorietheorie is een isomorfisme een morfisme \({\displaystyle f\colon X\to Y}\) in een categorie waarvoor er een "inverse" \({\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}\) bestaat, met de eigenschap dat zowel geldt \({\displaystyle f^{-1}\!f=id_{X}}\) als \({\displaystyle ff^{-1}=id_{Y}}\).

Informeel gesproken is een isomorfisme een soort van afbeelding tussen objecten die een relatie laat zien tussen twee eigenschappen of operaties. Wanneer er een isomorfisme tussen twee structuren bestaat, noemt men de twee structuren isomorf. Als men ervoor kiest om zekere details te negeren die voortvloeien uit de manier waarop de structuren zijn gedefinieerd, zijn isomorfe structuren in zekere zin structureel identiek.

Inhoud

Nut en zin


Isomorfismen worden in de wiskunde bestudeerd om verkregen inzichten met betrekking tot het ene fenomeen over te hevelen naar andere fenomenen. Als twee wiskundige objecten isomorf zijn, dan is elke eigenschap, waarvan de structuur bewaard blijft door een isomorfisme en die geldt voor een van de twee wiskundige objecten, ook geldt voor het andere wiskundige object. Als er een isomorfisme kan worden gevonden van een relatief onbekend deel van de wiskunde naar een goed bestudeerd deelgebied, waar reeds vele stellingen bewezen zijn en vele methoden beschikbaar zijn om antwoorden te vinden, dan kan deze isomorfe functie worden gebruikt om problemen uit het onbekende deelgebied af te beelden op het deelgebied van de wiskunde waar men reeds "vaste grond onder de voeten heeft" en waar de problemen dus gemakkelijker kunnen worden begrepen en opgelost.

Bijzondere gevallen


Isomorfismen kunnen het gemakkelijkst worden gedefinieerd door te kijken naar concrete situaties:

Definitie


Veronderstel dat \({\displaystyle A}\) en \({\displaystyle B}\) twee objecten zijn met een gelijksoortige structuur, d.w.z. het zijn beide lie-algebra's (of velden, of vectorruimten, of anders). Een isomorfisme van \({\displaystyle A}\) naar \({\displaystyle B}\) is dan een morfisme \({\displaystyle A\to B}\) zodanig dat er een invers morfisme \({\displaystyle B\to A}\) bestaat. Merk op dat het woord morfisme hier gedefinieerd is in termen van de structuur die werd uitgekozen.

Twee objecten zijn isomorf indien er een isomorfisme tussen deze objecten bestaat.

Voorbeelden


Zie ook











Categorieën: Abstracte algebra | Categorietheorie




Staat van informatie: 20.12.2020 03:14:09 CET

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.