Inwendig product


Het inwendig product, ook wel inproduct of scalair product genoemd, van twee vectoren is een scalair, dus het levert een getal op. Het is een begrip uit de lineaire algebra, maar ook in andere takken van de wiskunde wordt hier veel gebruik van gemaakt. De bekendste vorm komt uit de euclidische meetkunde en is voor de vectoren \({\displaystyle \mathbf {u} }\) en \({\displaystyle \mathbf {v} }\) gedefinieerd als:

\({\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =|\mathbf {u} ||\mathbf {v} |\cos \theta }\)

waarin \({\displaystyle \theta }\) de hoek tussen de vectoren is en \({\displaystyle |\mathbf {u} |}\) en \({\displaystyle |\mathbf {v} |}\) respectievelijk de normen van de vectoren \({\displaystyle \mathbf {u} }\) en \({\displaystyle \mathbf {v} }\) zijn.

Men noteert het inproduct ook als:

\({\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {u} |\mathbf {v} \rangle }\)

Voor de bovenstaande definitie is het nodig de hoek tussen de beide vectoren te kennen, of meer nog dat in de gebruikte meetkunde al een begrip hoek bestaat.

Als de vectoren \({\displaystyle \mathbf {u} }\) en \({\displaystyle \mathbf {v} }\) elementen zijn van de \({\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\), de \({\displaystyle n}\)-dimensionale vectorruimte over de reële getallen, en:

\({\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})}\)

en

\({\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})}\)

dan kan het inwendig product vastgelegd worden als:

\({\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+\ldots +u_{n}v_{n}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}}\)

Deze vorm van het inwendig product heet het standaardinproduct, het is de gebruikelijke vorm van inwendig product in een euclidische ruimte.

Daarna kan dan de hoek tussen de beide vectoren gedefinieerd worden met behulp van dit inproduct en de norm van de vectoren.

Inhoud

Eigenschappen


Het begrip inwendig product is ook gegeneraliseerd. Daarbij spreekt men naar analogie van het bovenstaande van "loodrecht" of "orthogonaal" als het inproduct gelijk is aan 0. Het gegeneraliseerde inproduct is echter alleen bij een reële vectorruimte commutatief.

Algemene definitie


Een inwendig product op een reële vectorruimte \({\displaystyle V}\) is een positief-definiete symmetrische bilineaire vorm \({\displaystyle \langle {\cdot },{\cdot }\rangle \colon V\times V\to \mathbb {R} }\). Dat wil zeggen dat voor \({\displaystyle x,y,z\in V}\) en \({\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }\) aan de volgende voorwaarden moet zijn voldaan:

  1. bilineariteit:
    • \({\displaystyle \langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle }\)
    • \({\displaystyle \langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle }\)
    • \({\displaystyle \langle x,\lambda y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle =\langle \lambda x,y\rangle }\)
  2. symmetrisch (commutatief): \({\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle }\)
  3. positief definiet: \({\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0}\) voor alle \({\displaystyle x}\) en \({\displaystyle \langle x,x\rangle =0\Leftrightarrow x=0}\)

Een inwendig product of inproduct op een complexe vectorruimte \({\displaystyle V}\) is een hermitische positief definiete sesquilineaire vorm \({\displaystyle \langle {\cdot },{\cdot }\rangle \colon V\times V\to \mathbb {C} }\). Dat wil zeggen dat voor \({\displaystyle x,y,z\in V}\) en \({\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }\) aan de volgende voorwaarden moet zijn voldaan:

  1. sesquilineair:
    • \({\displaystyle \langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle }\)
    • \({\displaystyle \langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle }\)
    • \({\displaystyle \langle x,\lambda y\rangle ={\bar {\lambda }}\langle x,y\rangle =\langle {\bar {\lambda }}x,y\rangle }\)
  2. hermitisch: \({\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}}\)
  3. positief definiet: \({\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0}\) (en dus reëel) voor alle \({\displaystyle x}\) en \({\displaystyle \langle x,x\rangle =0\Leftrightarrow x=0}\)

Hier is \({\displaystyle {\overline {z}}}\) de complex geconjugeerde van \({\displaystyle z}\).

Een vectorruimte met inwendig product is een inwendig-productruimte.

Eindigdimensionale reële vectorruimte

Voor vectoren \({\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}\) is

\({\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{i}\sum _{j}x_{i}y_{j}\langle e_{i},e_{j}\rangle =\sum _{i}\sum _{j}x_{i}y_{j}a_{ij}=\sum _{i}x_{i}(Ay)_{i}=x\cdot Ay}\),

waarin

\({\displaystyle a_{ij}=\langle e_{i},e_{j}\rangle }\)

Vanwege de eigenschappen van het inwendige product is de matrix \({\displaystyle A=(a_{ij})}\) positief-definiet en symmetrisch.

Als \({\displaystyle [x]=[x_{1}\,x_{2}\,\ldots \,x_{n}]'}\) de kolomvector is met als elementen de coördinaten van \({\displaystyle x}\), kan men schrijven:

\({\displaystyle \langle x,y\rangle =[x]'A[y]}\)

Vaak schrijft men gewoon

\({\displaystyle \langle x,y\rangle =x'Ay}\),

waarin stilzwijgend met \({\displaystyle x}\) en \({\displaystyle y}\) zowel de vectoren als de overeenkomstige kolomvectoren aangeduid worden.

Omgekeerd induceert elke positief-definiete, symmetrische matrix \({\displaystyle A}\) een inproduct via de relatie

\({\displaystyle \langle x,y\rangle =x\cdot Ay}\)

Omdat iedere positief-definiete, symmetrische matrix geschreven kan worden als \({\displaystyle A=B^{T}B}\) met \({\displaystyle B}\) een inverteerbare matrix, en omgekeerd voor een willekeurige inverteerbare matrix \({\displaystyle B}\) de matrix \({\displaystyle A=B^{T}B}\) positief definiet en symmetrisch is, geldt ook:

\({\displaystyle \langle x,y\rangle =x'B'By=(Bx)'By}\)

De matrix \({\displaystyle B}\) is voor een gegeven \({\displaystyle A}\) niet uniek bepaald, want de matrix \({\displaystyle CB}\) met \({\displaystyle C}\) een orthogonale matrix geeft dezelfde \({\displaystyle A}\).

Er geldt dus ook met de gewone norm:

\({\displaystyle \langle x,x\rangle =\|Bx\|^{2}}\)

Voor een willekeurige \({\displaystyle n}\)-dimensionale vectorruimte \({\displaystyle V}\) over de reële getallen met basis \({\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}\) en inproduct \({\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }\) is het inproduct van twee vectoren

\({\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}}\) en \({\displaystyle y=\sum _{i=1}^{n}y_{i}e_{i}}\):
\({\displaystyle \langle x,y\rangle =\left\langle \sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i},\sum _{j=1}^{n}y_{j}e_{j}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}x_{i}y_{j}\langle e_{i},e_{j}\rangle }\)

Bij een orthonormale basis geldt dus \({\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}\). Deze uitdrukking wordt het standaardinproduct genoemd.

Eindigdimensionale complexe vectorruimte

Voor een willekeurige n-dimensionale vectorruimte \({\displaystyle V}\) over de complexe getallen met basis \({\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}\) en inproduct \({\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }\) is het inproduct van twee vectoren

\({\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}}\) en \({\displaystyle y=\sum _{i=1}^{n}y_{i}e_{i}}\):
\({\displaystyle \langle x,y\rangle =\left\langle \sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i},\sum _{j=1}^{n}y_{j}e_{j}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}x_{i}{\bar {y_{j}}}\langle e_{i},e_{j}\rangle }\).

Bij een orthonormale basis geldt dus \({\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\bar {y_{i}}}}\). Deze uitdrukking is een van de versies van het complexe standaardinproduct.

Voorbeelden

De volgende bewerkingen zijn inwendige producten:

\({\displaystyle \langle u,v\rangle =\sum _{k=1}^{n}w_{k}u_{k}v_{k}}\)
waarin \({\displaystyle w}\) een vector van positieve gewichtsfactoren is;
\({\displaystyle u\cdot v=\sum _{k=1}^{n}{\bar {u}}_{k}v_{k}}\)
waarin \({\displaystyle {\bar {}}}\) staat voor de complex geconjugeerde;
\({\displaystyle A\cdot B=\mathrm {tr} (B^{H}A)}\)
waarbij tr staat voor het spoor van een matrix, en \({\displaystyle H}\) staat voor de complex geconjugeerde van de getransponeerde van een matrix, de hermitisch toegevoegde.

Norm


Bij een inproduct op een willekeurige reële of complexe vectorruimte hoort op natuurlijke wijze een norm

\({\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}\)

Een genormeerde vectorruimte waarvan de norm op dergelijke wijze afkomstig is van een inproduct, heet een prehilbertruimte, omdat haar metrische vervollediging een hilbertruimte is.

Het inproduct kan steeds uit de norm worden gereconstrueerd. In een reële prehilbertruimte geldt:

\({\displaystyle 2\langle x,y\rangle =\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle =\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}}\)

of

\({\displaystyle 2\langle x,y\rangle =\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}\)

en ook

\({\displaystyle 4\langle x,y\rangle =\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}\)

In een complexe prehilbertruimte daarentegen geldt:

\({\displaystyle 4\langle x,y\rangle =\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}}\)

Eindigdimensionale geval

In \({\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\) bepaalt een willekeurig inwendig product een norm via de relatie

\({\displaystyle \|\mathbf {u} \|={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }}=\|B\mathbf {u} \|_{2}}\)

met \({\displaystyle B}\) een inverteerbare matrix (zie ook boven).

In \({\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\) zijn er overigens ook nog andere normen, zoals

\({\displaystyle \|\mathbf {u} \|=\|B\mathbf {u} \|_{p}}\)

voor andere reële waarden van \({\displaystyle p\geq 1}\).

Voor \({\displaystyle n=1}\) moet de norm onderscheiden worden van de absolute waarde:

\({\displaystyle \|u\|=|u|{\sqrt {\langle 1,1\rangle }}=|u|\|1\|}\)

(of de eendimensionale vector van de scalar).

Hoek


De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz begrenst het inproduct van twee willekeurige vectoren \({\displaystyle x,y\in V}\) door het product van hun normen:

\({\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|}\)

De hoek \({\displaystyle \alpha }\) tussen \({\displaystyle x}\) en \({\displaystyle y}\) wordt gegeven door

\({\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\|y\|}}}\)

De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz garandeert dat het rechterlid tussen −1 en 1 ligt.

Equivalentie van de beide definities


In twee dimensies laat het volgende bewijs zien dat de definities

\({\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =|\mathbf {u} ||\mathbf {v} |\cos \theta }\)

en

\({\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}}\)

equivalent zijn. Stel gegeven twee vectoren \({\displaystyle u=(u_{1},u_{2})}\) en \({\displaystyle v=(v_{1},v_{2})}\) in het vlak. Te bewijzen:

\({\displaystyle v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}=\|v\|\|u\|\cos(\alpha )}\)

Voor de lengte \({\displaystyle L}\) van het blauwe lijnstuk in de figuur geldt volgens de stelling van Pythagoras:

\({\displaystyle L^{2}=(v_{1}-u_{1})^{2}+(v_{2}-u_{2})^{2}}\)

Anderzijds volgt uit de cosinusregel:

\({\displaystyle L^{2}=\|v\|^{2}+\|u\|^{2}-2\|v\|\|u\|\cos(\alpha )}\)

Gelijkstellen van de beide uitdrukkingen levert:

\({\displaystyle v_{1}^{2}-2v_{1}u_{1}+u_{1}^{2}+v_{2}^{2}-2v_{2}u_{2}+u_{2}^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-2\|v\|\|u\|\cos(\alpha )}\)

waaruit volgt:

\({\displaystyle v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}=\|v\|\|u\|\cos(\alpha )}\)

Het bewijs kan heel gemakkelijk doorgetrokken worden naar hogere dimensies.

Equivalentie van de beide definities door rotatie ten opzichte van het referentieassenstelsel


Indien we bèta als hoek tussen vector v en de horizontale as in beschouwing nemen en gebruik maken van de hoeksom- en hoekverschil-identiteiten:

\({\displaystyle u_{1}=\|u\|\cos(\alpha +\beta )=\|u\|(\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta ))}\)
\({\displaystyle u_{2}=\|u\|\sin(\alpha +\beta )=\|u\|(\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha ))}\)
\({\displaystyle v_{1}=\|v\|\cos(\beta )}\)
\({\displaystyle v_{2}=\|v\|\sin(\beta )}\)

Waaruit ook volgt dat:

\({\displaystyle v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}=\|v\|\cos(\beta )\|u\|(\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta ))+\|v\|\sin(\beta )\|u\|(\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha ))}\)\({\displaystyle v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}=\|u\|\|v\|(\cos(\alpha )\cos ^{2}(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )\cos(\beta )+\sin ^{2}(\beta )\cos(\alpha ))}\)
\({\displaystyle v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}=\|u\|\|v\|\cos(\alpha )(\cos ^{2}(\beta )+\sin ^{2}(\beta ))}\)

En bijgevolg equivalent is aan:

\({\displaystyle v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}=\|u\|\|v\|\cos(\alpha )}\)

Merk ook op dat deze formule aan rechterzijde niet afhankelijk is van de hoek bèta ten opzichte van het orthogonale referentieassenstelsel, noch van de oorsprong van dit assenstelsel en aan linkerzijde wel van de oorsprong van het assenstelsel.

Dus ook al zouden we ons referentieassenstelsel over een willekeurige hoek (bèta) draaien, dan blijft het inwendig product even groot:

\({\displaystyle v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}=v_{1}'u_{1}'+v_{2}'u_{2}'}\)

'Vrije' vectoren hebben slechts een 'grootte' (En.: 'scalar') en een 'richting' (eventueel een 'zin'), en geen bepaald aangrijpingspunt (in tegenstelling tot 'gebonden' vectoren), vandaar dat we ze steeds naar de oorsprong van het orthogonaal assenstelsel kunnen verplaatsen.

Bij een verplaatsing van de oorsprong van het orthogonale assenstelsel zou deze formule immers niet gelden.

Bovendien maakt het niet uit of je de grootte van de ene vector via de hoek alpha projecteert op de andere vector of omgekeerd:

\({\displaystyle u_{v}=\|u\|\cos(\alpha )}\)
\({\displaystyle v_{u}=\|v\|\cos(-\alpha )=\|v\|\cos(\alpha )}\) (Gezien: \({\displaystyle \cos(-\alpha )=\cos(\alpha )}\))

Om dan vervolgens hun groottes met elkaar te vermenigvuldigen om het inwendig product te bekomen:

\({\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\|\mathbf {v} \|u_{v}=\|\mathbf {v} \|\|\mathbf {u} \|\cos(\alpha )=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|\cos(\alpha )}\)
\({\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {u} =\|\mathbf {u} \|v_{u}=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|\cos(-\alpha )=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|\cos(\alpha )}\)

Wat maakt dat deze bewerking commutatief is in een reële vectorruimte:

\({\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }\)

Functieruimten


De functieruimten van reëel- of complexwaardige integreerbare functies op het interval \({\displaystyle [a,b]}\) zijn voorbeelden van vectorruimten met als mogelijk inwendig product:

\({\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}{f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} t}}\)

of met schaalfactor

\({\displaystyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}{f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} t}}\),

waarin \({\displaystyle {\overline {g(t)}}}\) staat voor de complex geconjugeerde van \({\displaystyle g(t)}\).

Afhankelijk van de keuze van de functieruimte, is het positief definiete karakter van dit inproduct niet altijd gegarandeerd; soms moeten equivalentieklassen beschouwd worden van functies die bijna overal aan elkaar gelijk zijn - zie ook Lp-ruimte.

Het inwendig product heeft bijvoorbeeld in het eerste geval de bijbehorende norm

\({\displaystyle \|f\|={\sqrt {\int _{a}^{b}{|f(t)|^{2}\,\mathrm {d} t}}}}\)

en is nuttig als deze norm, toegepast op het verschil van twee functies, een redelijke maat wordt geacht voor de mate waarin de twee functies van elkaar verschillen. Dit kan bijvoorbeeld aan de orde zijn bij de benadering van een functie door een polynoom.

Voorbeeld van een tweedimensionale functieruimte

Een eenvoudig specifiek voorbeeld is een tweedimensionale reële vectorruimte van lineaire functies \({\displaystyle f(t)=p+qt}\) op het interval [0,1]:

\({\displaystyle \langle f_{1},f_{2}\rangle =\int _{0}^{1}{f_{1}(t)f_{2}(t)\,\mathrm {d} t}}\);
\({\displaystyle f_{1}(t)=p_{1}+q_{1}t}\), \({\displaystyle f_{2}(t)=p_{2}+q_{2}t}\) geeft:
\({\displaystyle \langle f_{1},f_{2}\rangle =p_{1}p_{2}+{\tfrac {1}{2}}(p_{1}q_{2}+p_{2}q_{1})+{\tfrac {1}{3}}q_{1}q_{2}}\)
\({\displaystyle \|f\|={\sqrt {p^{2}+pq+{\tfrac {1}{3}}q^{2}}}}\)

Met de voor de hand liggende basis \({\displaystyle e_{1}(t)=1}\), \({\displaystyle e_{2}(t)=t}\), en dus de coördinaten \({\displaystyle p}\) en \({\displaystyle q}\), is het inproduct dus niet het standaardinproduct; met betrekking tot het inproduct is deze basis niet orthonormaal. Dit heeft als consequentie dat als een lineaire functie \({\displaystyle f(t)=p+qt}\) wordt weergegeven als een punt in een cartesisch coördinatenstelsel met op de horizontale as \({\displaystyle p}\) en op de verticale as \({\displaystyle q}\), de afstand tussen twee punten niet correspondeert met de norm van het verschil van de twee functies, of daarmee equivalent: dat de afstand van een punt tot de oorsprong niet correspondeert met de norm van de functie. Bij een scheef assenstelsel, waarbij de basisvectoren een lengte hebben overeenkomstig hun norm (1 en \({\displaystyle {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}}\)), en onder een hoek zoals boven gedefiniëerd (wat uitkomt op 30°), correspondeert de afstand van een punt tot de oorsprong wel met de norm van de functie.

Hetzelfde wordt bereikt als de basis orthonormaal wordt gemaakt, met \({\displaystyle b_{1}(t)=1}\) en \({\displaystyle b_{2}(t)=2{\sqrt {3}}(t-{\tfrac {1}{2}})}\). De coördinaten van de functies veranderen dan (er wordt een coördinatentransformatie, meer specifiek een basistransformatie toegepast), maar de punten blijven op dezelfde plaats liggen als in het scheve assenstelsel, nu in een cartesisch coördinatenstelsel. De nieuwe coördinaten zijn \({\displaystyle p+{\tfrac {1}{2}}q}\) en \({\displaystyle {\tfrac {1}{6}}q{\sqrt {3}}\ }\):

\({\displaystyle (p+{\tfrac {1}{2}}q)b_{1}+({\tfrac {1}{6}}q{\sqrt {3}})b_{2}=}\)
\({\displaystyle =(p+{\tfrac {1}{2}}q)+({\tfrac {1}{6}}q{\sqrt {3}})2{\sqrt {3}}(t-{\tfrac {1}{2}})=}\)
\({\displaystyle =p+qt=f(t)}\)

Een functie \({\displaystyle f(t)=p+qt}\) heeft dus de orthogonale componenten

\({\displaystyle f_{1}(t)=p+{\tfrac {1}{2}}q}\),

waarvoor geldt

\({\displaystyle \|f_{1}\|=|p+{\tfrac {1}{2}}q|}\)

en

\({\displaystyle f_{2}(t)=({\tfrac {1}{6}}q{\sqrt {3}})b_{2}=q(t-{\tfrac {1}{2}})}\),

waarvoor geldt:

\({\displaystyle \|f_{2}\|={\tfrac {1}{6}}{\sqrt {3}}|q|}\)

Voor \({\displaystyle f(t)=p+qt=(p+{\tfrac {1}{2}}q)+q(t-{\tfrac {1}{2}})}\) geldt met toepassing van de stelling van Pythagoras:

\({\displaystyle \|f\|={\sqrt {(p+{\tfrac {1}{2}}q)^{2}+({\tfrac {1}{6}}{\sqrt {3}}q)^{2}}}={\sqrt {p^{2}+pq+{\tfrac {1}{3}}q^{2}}}}\)

Inwendig product in de natuurkunde


In de natuurkunde is ook het inwendig product van twee vectoriële grootheden van verschillende soort van belang. Aangezien deze niet bij elkaar opgeteld kunnen worden, kunnen ze niet tot dezelfde vectorruimte behoren. Wel is de hoek tussen de twee vectoren een zinvol begrip; de twee vectorruimten hebben een gemeenschappelijke verzameling richtingen, of gelijkwaardig daarmee: een gemeenschappelijk stel gerichte coördinaatassen, exclusief de "maatverdeling" / schaal.

Voorbeeld

De door een krachtbron bij verplaatsing van een massa geleverde arbeid \({\displaystyle W}\) is het inwendig product van de uitgeoefende kracht \({\displaystyle F}\) en de verplaatsingsvector \({\displaystyle \Delta {\vec {r}}}\):

\({\displaystyle W={\vec {F}}\cdot \Delta {\vec {r}}}\),

of algemener de lijnintegraal over een kromme van A naar B:

\({\displaystyle W=\int _{AB}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}\)

Kruisproduct


Het kruisproduct is net als het inwendig product een functie van twee vectoren, maar in tegenstelling tot het inwendig product geeft het kruisproduct geen getal als uitkomst, maar een nieuwe vector. Het kruisproduct van twee vectoren in drie dimensies is de vector die loodrecht op beide vectoren staat, waarvan de grootte gelijk is aan het product van de groottes van de beide vectoren en de sinus van de hoek tussen de twee vectoren en waarvan de richting door de rechterhandregel wordt vastgelegd.










Categorieën: Lineaire algebra | Vector




Staat van informatie: 28.09.2021 07:17:06 CEST

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.