Inverse


In de wiskunde wordt met de term inverse een aantal verwante begrippen aangeduid, zoals inverse bewerking, inverse van een getal of variabele ten opzichte van een bepaalde operatie en daarmee samenhangend de inverse van een element van een groep, de inverse van een functie of afbeelding, en daaruit voortvloeiend de inverse van een matrix.

Inhoud

Inverse bewerking


Onder de inverse bewerking van een (rekenkundige) operatie verstaan we een bewerking die in bepaalde zin het omgekeerde bereikt. Zo is aftrekken de inverse of tegengestelde operatie van optellen, delen is de inverse operatie van vermenigvuldigen. Met machtsverheffen zijn er twee mogelijkheden. Als de variabele \({\displaystyle x}\) het grondtal is, bijvoorbeeld in \({\displaystyle x^{2},}\) is worteltrekken de inverse bewerking van machtsverheffen. Als \({\displaystyle x}\) in de exponent staat, bijvoorbeeld in \({\displaystyle e^{x},}\) is de logaritme de inverse van machtsverheffen.

Inverse van een getal of variabele


Vermenigvuldigen we een getal eerst met 3 en daarna met 1/3 dan is het eindresultaat het oorspronkelijke getal. De getallen 3 en 1/3 leveren immers als product het getal 1 op, dat voor de vermenigvuldiging het neutrale element is. Zij heten daarom elkaars inverse ten opzichte van de bewerking vermenigvuldigen. Zo heeft elk getal of variabele \({\displaystyle x,}\) mits ongelijk 0, met betrekking tot de vermenigvuldiging een inverse \({\displaystyle 1/x.}\)

Algemeen verstaat men onder de inverse van een variabele \({\displaystyle x}\) ten opzichte van een bepaalde binaire bewerking het getal \({\displaystyle x^{-1}}\) waarvoor het resultaat van de bewerking toegepast op \({\displaystyle x}\) en dat getal het neutrale element van die bewerking oplevert.

Bij het rekenen modulo een getal \({\displaystyle n}\) is de vermenigvuldigingsinverse van het getal \({\displaystyle x}\) bepaald door:

\({\displaystyle x^{-1}\cdot x=1\mod n}\)

Als \({\displaystyle n}\) bijvoorbeeld gelijk is aan 29, kunnen van de getallen 1 tot en met 28 de inversen berekend worden. Zo is 25 de inverse van 7, want

\({\displaystyle 25\times 7=175\equiv 1\mod 29.}\)

Om de vermenigvuldigingsinverse te bepalen wordt het euclidisch algoritme gebruikt.

Inverse van een functie of afbeelding


Zoals in het artikel functie uiteengezet, kan men bij een bijectieve afbeelding \({\displaystyle A}\) een inverse afbeelding \({\displaystyle A^{-1}}\) definiëren, die als het ware het omgekeerde van \({\displaystyle A}\) bewerkstelligt. Past men eerst \({\displaystyle A}\) toe op \({\displaystyle x,}\) en vervolgens op het resultaat \({\displaystyle A(x)}\) de inverse afbeelding \({\displaystyle A^{-1},}\) dan is het resultaat weer gelijk aan \({\displaystyle x;}\) in formulevorm

\({\displaystyle A^{-1}(A(x))=x}\)

Aan de hand van een voorbeeld zien we hoe van een functie de inverse bepaald kan worden. Zij:

\({\displaystyle f(x)=e^{3x}}\)

Dit is een bijectieve functie, waarvan dus de inverse bestaat. De inverse functie \({\displaystyle f^{-1}}\)voegt aan een beeld \({\displaystyle y=f(x)}\) het origineel \({\displaystyle x}\) toe:

\({\displaystyle f^{-1}(y)=x}\).

Door het oplossen van \({\displaystyle x}\) uit de vergelijking:

\({\displaystyle y=e^{3x}}\),

volgt

\({\displaystyle f^{-1}(y)=x={\tfrac {1}{3}}\ln(y)}\)

Dus voor \({\displaystyle y>0}\) is:

\({\displaystyle f^{-1}(y)={\tfrac {1}{3}}\ln(y)}\)

Andere voorbeelden



Inverse transformatie


Ook bij transformaties is er sprake van inverse transformaties. Een transformatie is een (partiële) functie van een verzameling naar zichzelf. Zo zijn "Verdubbeling" en "Halvering" transformaties van de verzameling van de reële getallen. De ene transformatie is de inverse van de andere.

Onder een functietransformatie verstaan we een bewerking die een functie via een bepaald voorschrift afbeeldt op een andere functie.

Een voorbeeld van een inverse functietransformatie is de inverse Laplacetransformatie.

Inverse van een matrix


De inverse matrix (zie aldaar) van een vierkante inverteerbare matrix is de inverse ten opzichte van de bewerking matrixvermenigvuldiging. Omdat matrixvermenigvuldiging overeenkomt met na elkaar toepassen van de bijbehorende (lineaire) afbeeldingen, is de inverse van een matrix ook de matrix van de inverse afbeelding.

Inverse van een partiële orde


De inverse van een partiële orde wordt verkregen door de beide operanden te verwisselen.










Categorieën: Relaties op verzamelingen | Groepentheorie | Lineaire algebra




Staat van informatie: 27.09.2021 09:02:53 CEST

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.