Imaginaire eenheid


Binnen de wiskunde is de imaginaire eenheid, aangeduid met \({\displaystyle i}\) (binnen de elektrotechniek aangeduid met \({\displaystyle j}\) om verwarring te voorkomen met de stroom die meestal met \({\displaystyle i}\) wordt aangeduid), een speciaal complex getal waarvoor per definitie geldt:

\({\displaystyle i^{2}=-1}\).

Door de invoering van de imaginaire eenheid is het mogelijk gebleken ook aan wortels van vergelijkingen als \({\displaystyle x^{2}=-1}\) een betekenis te geven. De verzameling van de reële getallen wordt zo uitgebreid tot de verzameling van de complexe getallen.

De behoefte aan uitbreiding ontstaat onder meer vanuit het gegeven dat niet elke polynomiale vergelijking van de graad \({\displaystyle n}\) binnen de verzameling van de reële getallen \({\displaystyle n}\) oplossingen heeft. Binnen de complexe getallen is dit wel het geval (hoewel oplossingen wel met elkaar samen kunnen vallen), zie de hoofdstelling van de algebra.

De vergelijking \({\displaystyle x^{2}=-1}\) is van de graad 2, en heeft dus 2 oplossingen. Per definitie is \({\displaystyle x=i}\) een oplossing, en bijgevolg ook \({\displaystyle x=-i}\).

Quaternionen


Soms zegt men dat deze vergelijking nog meer oplossingen heeft. Men kan naast de imaginaire eenheid \({\displaystyle i}\) definiëren: de speciale quaternionen \({\displaystyle j}\) en \({\displaystyle k,}\) verschillend van elkaar en van \({\displaystyle i,}\) waarvan het kwadraat eveneens gelijk is aan \({\displaystyle -1.}\)

Opmerking


De imaginaire eenheid wordt soms genoteerd als \({\displaystyle {\sqrt {-1}}}\), wat alleen correct is als daarmee de hoofdwaarde van de complexe wortel bedoeld wordt, en wat zeker niet als definitie van \({\displaystyle i}\) kan fungeren. De rekenregels die gelden voor de vierkantswortel, zijn alleen gedefinieerd voor positieve getallen (en nul). Als (ten onrechte) een dergelijke rekenregel zou worden toegepast voor het getal \({\displaystyle -1,}\) kan als volgt geredeneerd worden:

\({\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}={\sqrt {-1\cdot -1}}={\sqrt {1}}=1}\)

De fout ligt in de toepassing van de rekenregel

\({\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}\).

Deze regel geldt echter niet voor negatieve \({\displaystyle a}\) en \({\displaystyle b;}\) immers \({\displaystyle {\sqrt {-1}}}\) is binnen het domein van de reële getallen niet gedefinieerd.

Zie ook bij complex getal voor de tegenspraken die ontstaan als de grens van het wiskundige domein van de reële wortelfunctie (nl.: ≥ 0) veronachtzaamd wordt. Zie verder ook wortel voor definities van wortels voor complexe getallen en quaternionen.

De imaginaire eenheid en de formule van Euler


Als in de formule van Euler

\({\displaystyle e^{ix}=\cos {x}+i\sin {x}}\),

voor \({\displaystyle x}\) het getal \({\displaystyle \pi /2}\) gesubstitueerd wordt, ontstaat

\({\displaystyle e^{\frac {i\pi }{2}}=i.}\)

Worden beide kanten tot de macht \({\displaystyle i}\) verheven en de identiteit

\({\displaystyle i^{2}=-1}\),

toegepast, dan volgt:

\({\displaystyle i^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}=0{,}2078795763\dots }\)









Categorieën: Complex getal | Eenheid




Staat van informatie: 20.12.2020 12:44:48 CET

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.