Hoek (meetkunde)


Een hoek in de meetkunde is een figuur in een vlak gevormd door twee halfrechten, benen van de hoek geheten, met een gemeenschappelijk beginpunt, het hoekpunt.

De term hoek wordt ook gebruikt voor de grootte van een draaiing. In het geval van een hoek in de eerste zin betreft dit een draaiing van een van de benen om het hoekpunt tot hij met de andere samenvalt. Duidelijk is dat deze beweging op twee manieren kan plaatsvinden, zodat door de halfrechten ook twee hoeken gevormd worden; deze hoeken vormen samen een cirkel ("volle hoek"). Zonder nadere bepaling rekent men meestal de kleinere van beide hoeken als de hoek gevormd door de halfrechten. Bij een veelhoek gaat het zonder nadere aanduiding om de binnenhoek, ook als die niet de kleinste van de twee is. Bij vectoren is de hoek maximaal een gestrekte.

Het snijpunt van de twee lijnen wordt wel hoekpunt genoemd. De hoek tussen twee lijnen is maximaal een rechte hoek.

Inhoud

Inleiding


Een hoek is een dimensieloze grootheid, waarvan de grootte traditioneel wordt uitgedrukt in (boog)graden (°). Een hoek ter grootte van een gehele cirkel telt voor 360°. Twee halfrechten in elkaars verlengde vormen een hoek van een halve cirkel, dus van 180°. Staan de halfrechten loodrecht op elkaar, dan is de (kleinere) hoek tussen beide 90°. Een graad is onderverdeeld in 60 (boog)minuten (') en een minuut weer in 60 (boog)seconden ("). Een hoek van 34 graden, 25 minuten en 16 seconden wordt genoteerd als: 34°25'16". In het SI-stelsel wordt een hoek gemeten in radialen. Bij het meten van hoeken in radialen zal vaak het getal π (pi) een rol spelen. Zo is een cirkel gelijk aan 2π radialen.

In de landmeetkunde gebruikt men als eenheid de gon. Hierbij is de hoek van een volledige cirkel 400 gon.

Wanneer twee lijnen in een vlak elkaar snijden, worden door deze lijnen 4 hoeken gevormd. De overstaande hoeken zijn daarbij in grootte aan elkaar gelijk. Twee aangrenzende hoeken zijn samen 180°. Zoals blijkt uit bijgaande figuur kan de hoek tussen twee lijnen op twee manieren worden gemeten. Meestal, maar niet noodzakelijk, wordt onder "de hoek" de kleinste hoek verstaan, in dit geval hoek α.

Wanneer twee vlakken elkaar snijden en dus een lijn gemeen hebben, wordt de mate waarin het ene vlak moet roteren om die lijn, om samen te vallen met het andere, de hoek tussen deze vlakken genoemd.

Geschiedenis


Hoeken werden reeds bij de Babyloniërs (4000 tot 300 v.Chr.) bestudeerd in de astronomie en de bouwkunde. De Babyloniërs gebruikten een talstelsel gebaseerd op het getal "60". Toenmalige wiskundigen verdeelden de (3 gelijke) hoeken van een gelijkzijdige driehoek in 60 eenheden, nu graden geheten. De graad werd verder opgesplitst in 60 minuten (ook wel boogminuten genoemd ter onderscheid van de minuut in tijd), en de minuut in 60 seconden (ook wel boogseconden genoemd).

De Oude Grieken konden aan de hand van een hoek de omtrek van de Aarde bepalen, en de afstand tot de Maan. Pythagoras toonde aan dat de som van de hoeken in een driehoek 180° is.

Tekenen van een hoek

Een van de drie klassieke problemen van de Grieken was de trisectie van een willekeurige hoek, enkel met passer en liniaal. Het was hun wel al gelukt een hoek in tweeën te delen en te verdubbelen, hoeken op te tellen en af te trekken, en bepaalde standaardhoeken (die van 90°, 60°, 72° 54°) te tekenen (de laatste drie uit een regelmatige drie- en vijfhoek). Daaruit kon een groot arsenaal afgeleide hoeken worden bepaald, maar niet alle hoeken! Pas veel later werd aangetoond dat de trisectie niet mogelijk is (Pierre Wantzel, 1837).

Eenheden


De SI-eenheid waarin een hoek wordt gemeten is de radiaal (rad).

In het dagelijks leven is de meeteenheid graad (°) gebruikelijker.

In de geodesie wordt de gon gebruikt.

De hoek van een helling wordt (op verkeersborden) vaak aangegeven in procenten. Die is doorgaans gelijk aan de tangens van de hellingshoek, soms de sinus, uitgedrukt in procenten. Voor kleine hoeken zijn zowel de tangens als de sinus met goede benadering gelijk aan de hoek zelf, uitgedrukt in radialen.

In het leger wordt de volledige cirkel opgedeeld in 6300 of 6400 eenheden, mil genaamd. Deze van de radiaal afgeleide eenheid is eenvoudig te gebruiken bij het inschieten van artillerie, als een schot een doel op 1000 meter met 5 meter mist kan het stuk 5 mil gedraaid worden.

Conversies tussen de verschillende eenheden

2π rad = 360° = 400 gon
1 rad = 57° 17' 45" = 63,6620 gon
1° = 0,0175 rad = 1,1111 gon
1 gon = 0,0157 rad = 0° 54"

Conventies


In volgende figuur is \({\displaystyle \angle {CAB}=-\angle {BAC}}\), enkel de rotatiezin verschilt. Hoek \({\displaystyle \angle {BAC}}\) is dus positief, hoek \({\displaystyle \angle {CAB}}\) is negatief. Men spreekt van gerichte hoeken

\({\displaystyle \alpha }\) en \({\displaystyle \beta }\) zijn supplementaire hoeken (de ene is het supplement van de andere) als de som van de twee hoeken een gestrekte hoek is, wiskundig: \({\displaystyle \alpha +\beta =\pi }\) (180°);
\({\displaystyle \alpha }\) en \({\displaystyle \beta }\) zijn complementaire hoeken (de ene is het complement van de andere) als de som van de twee hoeken een rechte hoek is, wiskundig: \({\displaystyle \alpha +\beta ={\frac {\pi }{2}}}\) (90°)
Supplementaire hoeken Complementaire hoeken

Eigenschappen


Gelijke hoeken

In de drie hieronder staande gevallen is \({\displaystyle \alpha =\beta }\):

overstaande hoeken
Hier is de rechte h evenwijdig aan h'.
Opnieuw is h evenwijdig aan h', dit geval is eenvoudig uit de bovenstaande twee te halen

Hieronder zijn de rechte hoeken (\({\displaystyle \textstyle {\frac {\pi }{2}}}\) rad) aangeduid met een boog en een punt:

hier is \({\displaystyle \alpha =\beta }\)
hier is \({\displaystyle \alpha +\beta =\pi }\)

Hoeken in regelmatige veelhoeken

In het euclidische vlak geldt dat de som van de hoeken van een driehoek 180° (\({\displaystyle \pi }\) rad) is, bij een vierhoek is de som 360° (\({\displaystyle 2\pi }\) rad).

Algemeen geldt voor een veelhoek met \({\displaystyle n}\) zijden, dat de som van de inwendige hoeken \({\displaystyle (n-2)\pi }\) of \({\displaystyle (n-2)\times 180^{\circ }}\) is.

Op die manier kan eenvoudig afgeleid worden, dat de hoeken in een regelmatige driehoek (gelijkzijdige driehoek) 60° (\({\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}\) rad) zijn, in een regelmatige vierhoek (vierkant) 90° (\({\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}\) rad).

Meer algemeen: de hoeken van een regelmatige n-hoek zijn elk \({\displaystyle {\frac {n-2}{n}}\times 180^{\circ }}\) oftewel \({\displaystyle {\frac {n-2}{n}}\pi }\) rad.

Bepalen van een hoek


Meten

Berekenen

Alle gevallen worden omgezet in het eerste geval, een hoek tussen twee vectoren.

In hogerdimensionale ruimten is een hoek tussen twee snijdende rechten gewoon de hoek in het vlak van de rechten. Bij toepassing van de formule \({\displaystyle \cos(\theta )={\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{\|\mathbf {u} \|\ \|\mathbf {v} \|}}}\) is het inwendig product zoals dat geldt in het vlak gelijk aan het inwendig product zoals dat geldt in de hogerdimensionale ruimte.

Riemann-meetkunde


In de niet-Euclidische elliptische meetkunde van Bernhard Riemann die onder meer wordt toegepast in de algemene relativiteitstheorie wordt de metrische tensor gebruikt om de hoek tussen twee raaklijnen te bepalen. Met U en V raakvectoren en gij de komponenten van de metrische tensor G krijgen we voor de onderlinge hoek

\({\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.}\)

Gebruik


Een greep uit de talloze toepassingen:

"Hoek" in het dagelijks taalgebruik


Het woord hoek wordt veel gebruikt in de Nederlandse taal:

Zie ook


Zie de categorie Angles (geometry) van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.









Categorieën: Meetkunde | Dimensieloos getal




Staat van informatie: 25.09.2021 05:54:55 CEST

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.