Hilberts Nullstellensatz


Hilberts Nullstellensatz, in het Nederlands: nulpuntenstelling van Hilbert, is een stelling uit de algebraïsche meetkunde, een tak van de wiskunde, die algebraïsche verzamelingen en idealen in veeltermringen relateert over algebraïsch gesloten velden. De stelling werd door David Hilbert bewezen.

Formulering


Laat \({\displaystyle K}\) een algebraïsch gesloten veld zijn, zoals de complexe getallen, en neem de ring \({\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}\), dat is de veeltermring van polynomen met coëfficiënten in \({\displaystyle K}\), in beschouwing. Laat \({\displaystyle I}\) een ideaal in deze ring zijn.

De algebraïsche variëteit \({\displaystyle V(I)}\), die door dit ideaal wordt gedefinieerd, bestaat uit alle \({\displaystyle n}\)-tupels \({\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}\) in \({\displaystyle K^{n}}\) zodat \({\displaystyle f(x)=0}\) voor alle \({\displaystyle f}\) in \({\displaystyle I}\).

Hilbert Nullstellensatz stelt dat als \({\displaystyle p}\) een willekeurige polynoom in \({\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}\) is, dat verdwijnt op de variëteit \({\displaystyle V(I)}\), dat wil zeggen \({\displaystyle p(x)=0}\) voor alle \({\displaystyle x\in V(I)}\), dat er dan een natuurlijk getal \({\displaystyle r}\) bestaat, zodat \({\displaystyle p^{r}}\) in \({\displaystyle I}\) is.

Gevolg en bewijsvoering


Een onmiddellijk gevolg is de zwakke Nullstellensatz:

Als \({\displaystyle I}\) een ideaal is in \({\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}\), dan kan \({\displaystyle V(I)}\) niet leeg zijn, dat wil zeggen dat er een gemeenschappelijk nulpunt bestaat voor alle polynomen in het ideaal.

Dit is ook de reden voor de naam van de stelling. De stelling kan gemakkelijk worden bewezen vanuit de 'zwakke' vorm door gebruik te maken van de Rabinowitsch-truc. De aanname dat \({\displaystyle K}\) algebraïsch gesloten moet zijn is hier essentieel, de elementen van het echte ideaal \({\displaystyle (x^{2}+1)}\) in \({\displaystyle R[X]}\) hebben geen gemeenschappelijke nul.

Met de notatie die gebruikelijk is in de algebraïsche meetkunde kan de Nullstellensatz voor elk ideaal \({\displaystyle J}\) ook worden geformuleerd als

\({\displaystyle I(U(J))={\sqrt {J}}}\)

\({\displaystyle {\sqrt {J}}}\) staat hier voor radicaal van \({\displaystyle J}\) en \({\displaystyle I(U)}\) is het ideaal van alle veeltermen die verdwijnen op de verzameling \({\displaystyle U}\).

Op deze manier ontstaat er een orde-omdraaiende bijectie tussen de algebraïsche variëteiten in \({\displaystyle K^{n}}\) en de radicale idealen van \({\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}\).










Categorieën: Commutatieve algebra | Wiskundige stelling




Staat van informatie: 08.04.2022 09:41:10 CEST

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.