Gesloten operator


Een gesloten operator of voluit gesloten lineaire operator is een bijzondere soort lineaire transformatie van een topologische vectorruimte. Deze transformaties worden bestudeerd in de operatorentheorie, een onderdeel van de wiskundige functionaalanalyse. Gesloten operatoren vormen een belangrijk houvast wanneer continuïteit of begrensdheid te strenge eisen blijken.

Inhoud

Definitie


Laat V een topologische vectorruimte zijn, en D een lineaire deelruimte van V. Een lineaire afbeelding

\({\displaystyle T:D\to V}\)

heet gesloten als haar grafiek

\({\displaystyle \left\{(x,y)\in V\times V|x\in D,\ T(x)=y\right\}}\)

een gesloten deelverzameling is van het Cartesisch product \({\displaystyle V\times V,}\) uitgerust met de producttopologie.

Lineaire afbeeldingen tussen topologische vectorruimten worden vaak operatoren genoemd, vandaar de naam gesloten operator.

Verantwoording


Continue lineaire transformaties van V zijn per definitie gesloten.

Minder voor de hand liggend, maar eveneens waar, is de stelling van de gesloten grafiek: als V een Banachruimte is, en T is een gesloten operator met als domein D=V de hele ruimte, dan is T continu.

Sluiting


Als T een willekeurige lineaire afbeelding van D naar V is, dus niet noodzakelijk gesloten, dan beschouwen we de topologische sluiting van de grafiek van T in \({\displaystyle V\times V.}\)

Dit kan al dan niet opnieuw de grafiek van een lineaire transformatie S vormen: het is niet gegarandeerd dat met elke x nog een unieke S(x) overeenkomt. Als de sluiting echter de grafiek is van een lineaire transformatie, dan is S een gesloten operator en men noemt S de sluiting van T. De operator T zelf heet afsluitbaar.

Een gesloten operator heeft uiteraard zichzelf als sluiting.

Als T een afsluitbare operator is met domein D, en E is een deelruimte van D, dan is de restrictie van T tot E nog steeds afsluitbaar. We noemen E een kern van T als de sluiting van die restrictie gelijk is aan de sluiting van E zelf.

Voorbeeld


Beschouw de Banachruimte \({\displaystyle {\mathcal {C}}[0,1]}\) der continue complexwaardige functies op het gesloten eenheidsinterval, met als norm het maximum van de absolute waarde.

Differentiëren van een functie is een lineaire bewerking, maar deze bewerking kan niet zinvol gedefinieerd worden als een continue lineaire transformatie van de hele ruimte \({\displaystyle {\mathcal {C}}[0,1].}\)

Beschouw de deelruimte \({\displaystyle D={\mathcal {C}}^{1}[0,1]}\) der continu differentieerbare complexwaardige functies op het gesloten eenheidsinterval. De operator T die met elke functie in D haar afgeleide associeert, is een gesloten operator in \({\displaystyle {\mathcal {C}}[0,1]}\).

De kleinere deelruimte \({\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }[0,1]}\) (onbeperkt continu differentieerbare functies) vormt een kern voor T. Ook de nog kleinere deelruimte der veeltermfuncties is een kern.

De operator T heeft de bijkomende interessante eigenschap dat hij dicht gedefinieerd is, dat wil zeggen dat zijn domein topologisch dicht is in \({\displaystyle {\mathcal {C}}[0,1].}\)










Categorieën: Functionaalanalyse




Staat van informatie: 23.12.2020 07:37:12 CET

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.