Geheel getal


De gehele getallen zijn alle getallen in de rij

…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

die voortgezet wordt door er steeds 1 bij te tellen of er 1 af te trekken. De gehele getallen omvatten 0, de natuurlijke getallen,[1] dus de getallen waarmee wordt geteld, en de tegengestelden daarvan, de negatieve gehele getallen.

Een geheel getal heet 'geheel' omdat het niet gebroken is en zonder cijfers achter de komma kan worden geschreven. De getallen 21, 4 en −121 zijn bijvoorbeeld gehele getallen, terwijl 9,75, 5½ en \({\displaystyle {\sqrt {12}}}\) geen gehele getallen zijn. De verzameling gehele getallen is een deelverzameling van de reële getallen, en wordt meestal voorgesteld door een vet gedrukte Z of het symbool \({\displaystyle \mathbb {Z} }\) (Unicode U+2124 ), wat voor Zahlen, het Duits voor getallen, staat.[2]

De wiskundetak die zich met de studie bezighoudt naar de eigenschappen van de gehele getallen, noemt men de getaltheorie.

Inhoud

Definitie


Getalverzamelingen

Natuurlijke getallen
Gehele getallen
Rationale getallen
Reële getallen
Complexe getallen
Quaternionen
p-adische getallen
Hyperreële getallen
Surreële getallen
Transfiniete getallen

Irrationale getallen
Algebraïsche getallen
Transcendente getallen
Imaginaire getallen

De gehele getallen kunnen worden gedefinieerd als de elementen van de kleinste verzameling \({\displaystyle \mathbb {Z} }\) met de eigenschappen:

\({\displaystyle 0\in \mathbb {Z} }\)
\({\displaystyle z\in \mathbb {Z} \implies z+1\in \mathbb {Z} }\)
\({\displaystyle z\in \mathbb {Z} \implies z-1\in \mathbb {Z} }\)

Voor de representatie van gehele getallen in de computer maakt men gebruik van het datatype integer. Het is echter belangrijk daarbij op te merken dat deze twee niet hetzelfde zijn. Het datatype integer is, aangezien een integer een beperkte hoeveelheid geheugen inneemt, een eindige verzameling, terwijl de gehele getallen een oneindige verzameling vormen.

Eigenschappen


\({\displaystyle \ldots <-2<-1<0<1<2<\ldots }\)
Deze orde heeft de eigenschappen:
  • als \({\displaystyle a<b}\) en \({\displaystyle c<d}\), dan is \({\displaystyle a+c<b+d}\)
  • als \({\displaystyle a<b}\) en \({\displaystyle 0<c}\), dan is \({\displaystyle ac<bc}\)
\({\displaystyle a=bq+r}\)
In bovenstaande stelling heet het getal \({\displaystyle q}\) het quotiënt en \({\displaystyle r}\) de rest van de deling van \({\displaystyle a}\) door \({\displaystyle b}\). Deze vorm van delen heet geheeltallige deling.
Als in bovenstaande stelling \({\displaystyle r=0}\), is de breuk \({\displaystyle a/b=q}\), dus geheel. Als \({\displaystyle r\neq 0}\), is de breuk \({\displaystyle a/b=q}\) geen geheel, maar een rationaal getal, met een geheel deel \({\displaystyle q}\) en een gebroken of fractioneel deel \({\displaystyle r/b}\).

Kardinaliteit


De gehele getallen kunnen afgeteld worden, anders gezegd: de verzameling \({\displaystyle \mathbb {Z} }\) is gelijkmachtig aan de verzameling \({\displaystyle \mathbb {N} }\) van natuurlijke getallen, dus aftelbaar oneindig. Beide verzamelingen bevatten als het ware "evenveel" elementen, hoewel de natuurlijke getallen toch maar een deel van de gehele getallen vormen. De kardinaliteit van de gehele getallen wordt aangegeven met het symbool \({\displaystyle \aleph _{0}}\) (aleph-null). Dat de gehele getallen kunnen worden afgeteld, kan als volgt worden aangetoond:

\({\displaystyle {\begin{matrix}0&1&-1&2&-2&3&-3&4&-4&\ldots \\1&2&3&4&5&6&7&8&9&\ldots \end{matrix}}}\)

Op deze manier worden de gehele getallen door de bijectie \({\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} \setminus {\{0\}}}\) een-op-een op de natuurlijke getallen, zonder 0, afgebeeld met

\({\displaystyle f(x)={\begin{cases}2|x|+1,&{\mbox{als }}x\leq 0\\2x,&{\mbox{als }}x>0\end{cases}}}\)

De bijectie \({\displaystyle g:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} }\) met

\({\displaystyle g(x)={\begin{cases}2|x|,&{\mbox{als }}x<0\\0,&{\mbox{als }}x=0\\2x-1,&{\mbox{als }}x>0\end{cases}}}\)

beeldt de gehele getallen op alle natuurlijke getallen af, met 0.

Door de definitie van kardinale gelijkheid hebben de twee verzamelingen dezelfde kardinaliteit.

Meer gehele getallen


De Gauss-gehele getallen en de Eisenstein-gehele getallen zijn twee verschillende uitbreidingen van de gehele getallen naar de complexe getallen.

Zie de categorie Integers van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.









Categorieën: Geheel getal | Getaltheorie




Staat van informatie: 27.09.2021 08:08:29 CEST

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.