Exponentiële verdeling


Exponentiële verdeling
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Parameters \({\displaystyle \lambda >0\,}\) ratio of inverse schaal (reëel)
Drager \({\displaystyle x\in [0;\infty )}\)
Kansdichtheid \({\displaystyle \lambda e^{-\lambda x}}\)
Verdelingsfunctie \({\displaystyle 1-e^{-\lambda x}}\)
Verwachtingswaarde \({\displaystyle \lambda ^{-1}\,}\)
Mediaan \({\displaystyle \ln(2)/\lambda \,}\)
Modus \({\displaystyle 0\,}\)
Variantie \({\displaystyle \lambda ^{-2}\,}\)
Scheefheid \({\displaystyle 2\,}\)
Kurtosis \({\displaystyle 6\,}\)
Entropie \({\displaystyle 1-\ln(\lambda )\,}\)
Moment-
genererende functie
\({\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}\,}\)
Karakteristieke functie \({\displaystyle \left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-1}\,}\)
Portaal    Wiskunde

In de kansrekening en de statistiek is de exponentiële verdeling een continue verdeling. De exponentiële verdelingen worden vaak gebruikt voor het modelleren van de tijd tussen twee gebeurtenissen die met een constante gemiddelde snelheid voorkomen. De exponentiële verdeling is een specifiek geval van de gamma-verdeling.

Definitie


De kansdichtheid \({\displaystyle f}\) van een exponentiële verdeling wordt gegeven door:

\({\displaystyle f(x;\lambda )=\left\{{\begin{matrix}\lambda e^{-\lambda x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.}\)

waar \({\displaystyle \lambda >0}\) de parameter van de verdeling is, die vaak een snelheidsparameter of intensiteitsparameter is. De verdeling wordt gedragen door het interval [0,∞). De verdeling wordt vanwege de negatieve exponent, ook wel negatief-exponentiële verdeling genoemd. Het is het continue analoog van de geometrische verdeling.

De verdelingsfunctie wordt gegeven door

\({\displaystyle F(x;\lambda )=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-\lambda x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.}\)

Alternatieve parameter

In plaats van de bovengenoemde parameter \({\displaystyle \lambda }\), wordt ook wel de parameter \({\displaystyle \mu =1/\lambda }\) gebruikt. De kansdichtheid heeft dan de vorm:

\({\displaystyle f(x;\mu )=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{\mu }}e^{-x/\mu }&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.}\)

De parameter \({\displaystyle \mu >0}\) is het omgekeerde van de eerder genoemde snelheidsparameter \({\displaystyle \lambda }\), en stelt een levensduurparameter voor. Als een toevalsvariabele \({\displaystyle X}\) de levensduur van een biologisch of mechanisch systeem voorstelt en \({\displaystyle X}\) is exponentieel verdeeld met parameter \({\displaystyle \mu }\), dan is \({\displaystyle E(X)=\mu }\), dus de verwachte levensduur van het systeem bedraagt \({\displaystyle \mu }\) tijdseenheden.

Geheugenloosheid


De exponentiële verdeling heeft als merkwaardige eigenschap geheugenloosheid. Als \({\displaystyle X}\) een levensduur is die exponentieel verdeeld is, worden de overlevingskansen voor \({\displaystyle x>0}\) gegeven door:

\({\displaystyle P(X>x)=e^{-\lambda x}}\).

We leiden nu eenvoudig af dat voor \({\displaystyle x,y>0}\) geldt:

\({\displaystyle P(X>x+y|X>x)={\frac {P(X>x+y)}{P(X>x)}}={\frac {e^{-\lambda (x+y)}}{e^{-\lambda x}}}=e^{-\lambda y}=P(X>y)}\).

Daarin volgt de eerste stap uit de constatering dat de gebeurtenis \({\displaystyle \{X>x+y\}}\) een deel is van de gebeurtenis \({\displaystyle \{X>x\}}\); anders gezegd: als \({\displaystyle X>x+y}\), is vanzelf ook \({\displaystyle X>x}\).










Categorieën: Continue verdeling




Staat van informatie: 28.09.2021 08:07:05 CEST

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.