Ellipsoïde


Een ellipsoïde is een kwadratisch oppervlak met drie loodrechte symmetrieassen.

De relatie die een ellipsoïde in het Cartesisch coördinatenstelsel beschrijft is:

\({\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1}\)

Waarin a, b en c de vorm van de ellipsoïde vastlegt en er geldt :

Wanneer a = b = c geldt dan betreft het een bol.

Als we stellen abc, dan geldt voor:

Elke ellipsoïde kan worden gevormd door een bol in een of twee richtingen (langs orthogonale assen) te verschalen.

Inhoud

Parametervergelijking


De volgende parametervergelijking stelt een ellips in het xy-vlak voor: \({\displaystyle [a\cos(\theta ),b\sin(\theta ),0]{\frac {}{}}}\) (\({\displaystyle \theta }\) van 0 tot \({\displaystyle 2\pi }\)), na rotatie rond bijvoorbeeld de x-as wordt de parametervergelijking \({\displaystyle [a\cos(\theta ),b\sin(\theta )\cos(\phi ),b\sin(\theta )\sin(\phi )]{\frac {}{}}}\), (\({\displaystyle \theta }\) en \({\displaystyle \phi }\) van 0 tot \({\displaystyle 2\pi }\)) Hiermee kan een prolate of oblate ellipsoïde worden geconstrueerd, maar niet een ongelijke.

Volume


Het volume van een ellipsoïde is eenvoudig te berekenen met de relatie:

\({\displaystyle V={\tfrac {4}{3}}\pi abc}\)

Uitgaande van de maximale lengte, breedte en hoogte wordt het volume uitgedrukt door :

\({\displaystyle V={\tfrac {1}{6}}\pi LBH\approx 0{,}524\ LBH}\)

Oppervlakte


De oppervlakte is een stuk lastiger om te berekenen. Analytische afleiding geeft:

\({\displaystyle A=2\pi \left(c^{2}+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(\theta ,m)+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(\theta ,m)\right)}\)

waarvoor geldt:

\({\displaystyle m={\frac {a^{2}(b^{2}-c^{2})}{b^{2}(a^{2}-c^{2})}}}\)
\({\displaystyle \theta =\arcsin {\left(e\right)}}\)
\({\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}}}\)

en \({\displaystyle F(\theta ,m)}\) en \({\displaystyle E(\theta ,m)}\) zijn onvolledige elliptische integralen van de eerste en tweede orde.

Bij benadering levert dit de volgende relaties op:

platte Ellips: \({\displaystyle =2\pi \left(ab\right)}\) (factor 2 vanwege bovenste plak + onderste plak)
prolate ellipsoïde: \({\displaystyle \approx 2\pi \left(c^{2}+ac{\frac {\arcsin {\left(e\right)}}{e}}\right)}\)
oblate ellipsoïde: \({\displaystyle \approx 2\pi \left(a^{2}+c^{2}{\frac {\operatorname {arctanh} {\left(e\right)}}{e}}\right)}\)
ongelijke ellipsoïde: \({\displaystyle \approx 4\pi \left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}\right)^{1/p}}\)

Voor p ≈ 1,6075 geeft dit een relatieve fout van maximaal 1,061% (Knud Thomsens formule); een waarde van p = 8/5 = 1,6 is optimaal voor bijna sferische ellipsoïden, met een relatieve fout van maximaal 1,178% (David W. Cantrells formule).

Zie ook











Categorieën: Ruimtelijke figuur | Oppervlak




Staat van informatie: 20.12.2020 03:07:28 CET

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-by-sa-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.