Eerlijk delen


Eerlijk delen (ook wel halve substitutie genoemd) is in de analytische meetkunde een techniek (algoritme) waarmee de vergelijking van een raaklijn aan een vlakke tweedegraadskromme (kegelsnede) direct uit de vergelijking van die kromme kan worden afgeleid.

Als in een standaard cartesisch coördinatenstelsel een dergelijke kromme gegeven is, waarvan de algemene vergelijking luidt:

\({\displaystyle C\equiv ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0}\)

en op die kromme ligt het punt \({\displaystyle P=(p,q)}\), dan bestaat de techniek uit het toepassen van, waar mogelijk, de volgende substituties[1] in de vergelijking van de kromme:

De getallen \({\displaystyle p}\) en \({\displaystyle q}\) worden hierbij dus eerlijk verdeeld over de variabelen \({\displaystyle x}\) en \({\displaystyle y}\): de helft van de \({\displaystyle x}\)-en wordt vervangen door \({\displaystyle p}\) en de helft van de \({\displaystyle y}\)-en wordt vervangen door \({\displaystyle q}\).

Toepassing van bovenstaande substitutieregels op de vergelijking \({\displaystyle C=0}\) geeft:

\({\displaystyle apx+{\tfrac {1}{2}}b(py+qx)+cqy+{\tfrac {1}{2}}d(x+p)+{\tfrac {1}{2}}e(y+q)+f=0}\)

of, na ordening:

\({\displaystyle L\equiv (ap+{\tfrac {1}{2}}bq+{\tfrac {1}{2}}d)x+(cq+{\tfrac {1}{2}}bp+{\tfrac {1}{2}}e)y+({\tfrac {1}{2}}dp+{\tfrac {1}{2}}eq+f)=0}\)

De vergelijking \({\displaystyle L=0}\) is een vergelijking van een rechte lijn. Als het punt \({\displaystyle P}\) op de kromme ligt, gaat die lijn door dat punt. Immers, als de coördinaten van \({\displaystyle P}\) voldoen aan de vergelijking \({\displaystyle C=0}\), dan voldoen ze ook aan de vergelijking \({\displaystyle L=0}\).[2]

De richtingscoëfficiënt \({\displaystyle r}\) van deze lijn is:

\({\displaystyle r=-{\frac {ap+{\tfrac {1}{2}}bq+{\tfrac {1}{2}}d}{cq+{\tfrac {1}{2}}bp+{\tfrac {1}{2}}e}}=-{\frac {2ap+bq+d}{2cq+bp+e}}}\)

De zo bepaalde lijn is de raaklijn aan de kromme in het punt \({\displaystyle P}\)

Inhoud

Bewijs


Uit de algemene vergelijking \({\displaystyle C=0}\) van de kromme volgt door impliciet differentiëren:

\({\displaystyle 2ax+by+bx{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+2cy{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+d+e{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=0}\)

Ordening geeft:

\({\displaystyle (bx+2cy+e){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=-(2ax+by+d)}\)

zodat:

\({\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {2ax+by+d}{bx+2cy+e}}}\)

De waarde \({\displaystyle D_{P}}\) van de afgeleide in het punt \({\displaystyle P=(p,q)}\) van de kromme is dan:

\({\displaystyle D_{P}=\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right){\Bigg |}_{(x,y)=(p,q)}=-{\frac {2ap+bq+d}{bp+2cq+e}}}\)

\({\displaystyle D_{P}}\) is gelijk aan de richtingscoefficient \({\displaystyle r}\) van van de lijn door \({\displaystyle P}\). Daaruit volgt dat de lijn met vergelijking \({\displaystyle L=0}\) de raaklijn is in het punt \({\displaystyle P}\) aan de kromme.

Voorbeelden


1. Cirkel
\({\displaystyle C\equiv x^{2}+y^{2}-25=0}\) en \({\displaystyle P=(3,4)}\), zodat \({\displaystyle p=3,q=4}\)
Eerlijk delen levert als vergelijking voor de raaklijn \({\displaystyle L}\):
\({\displaystyle L\equiv 3x+4y-25=0}\)
Snijpunten met de cirkel:
\({\displaystyle 4y=25-3x}\)
\({\displaystyle 16x^{2}+(25-3x)^{2}-400=0}\)
\({\displaystyle x^{2}-6x+9=0}\)
dus \({\displaystyle x=3,\,y=4}\) is het enige gemeenschappelijke punt.
2. Parabool
\({\displaystyle C\equiv y^{2}-2rx=0}\) en \({\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}\)
Dan is:
\({\displaystyle y\cdot y-rx-rx=0}\)
Dus:
\({\displaystyle L\equiv y_{0}y-rx-rx_{0}=0}\)
Deze vergelijking wordt meestal geschreven als \({\displaystyle y_{0}y=r(x+x_{0})}\).
3. Hyperbool
\({\displaystyle C\equiv 3x^{2}-7xy+2y^{2}+3x-2y+12=0}\) en \({\displaystyle P=(2,3)}\)
Zodat:
\({\displaystyle 3x\cdot x-{\tfrac {7}{2}}(xy+xy)+2y\cdot y+{\tfrac {3}{2}}(x+x)-(y+y)+12=0}\)
De vergelijking van de raaklijn in het punt \({\displaystyle P}\) aan de hyperbool is dan:
\({\displaystyle 6x-{\tfrac {7}{2}}(2y+3x)+6y+{\tfrac {3}{2}}(x+2)-(y+3)+12=0}\)
of ook:
\({\displaystyle -3x-2y+12=0}\) of: \({\displaystyle 3x+2y=12}\)

Toepassing op middelpunts- en topvergelijking


Is de zogeheten middelpuntsvergelijking van een cirkel − het middelpunt is \({\displaystyle M=(a,b)}\):

\({\displaystyle {{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}={{r}^{2}}}\)

dan is deze vergelijking te schrijven als:

\({\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{r}^{2}}=0}\)

De vergelijking van de raaklijn in het punt \({\displaystyle P=(p,q)}\) van de cirkel is dan met “eerlijk delen”:

\({\displaystyle px+qy-a(x+p)-b(y+q)+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{r}^{2}}=0}\)

of, na ordening:

\({\displaystyle (p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)={{r}^{2}}}\)

Wordt de vergelijking van de cirkel geschreven als:

\({\displaystyle (x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)={{r}^{2}}}\)

dan blijkt dat ook deze schrijfwijze zich leent voor “eerlijk delen”.

Dit is ook van toepassing op de middelpuntsvergelijking van een ellips en van een hyperbool.

De topvergelijking van een parabool − de top is het punt \({\displaystyle T=(a,b)}\) − luidt:

\({\displaystyle {{(y-b)}^{2}}=2r(x-a)}\) of ook: \({\displaystyle (y-b)(y-b)=r(x+x-2a)}\)

Uitgewerkt en op 0 herleid:

\({\displaystyle {{y}^{2}}-2by-2rx+{{b}^{2}}+2ra=0}\)

De vergelijking van de raaklijn in het punt \({\displaystyle P=(p,q)}\) van de parabool is dan met "eerlijk delen":

\({\displaystyle qy-b(y+q)-r(x+p)+{{b}^{2}}+2ra=0}\)

of:

\({\displaystyle (q-b)(y-b)=r(x+p-2a)}\)

Waaruit blijkt dat ook bij de topvergelijking van de parabool de eerlijk-delentechniek kan worden toegepast.


Poollijn


Als het punt \({\displaystyle P}\) niet ligt op de kegelsnede met algemene vergelijking \({\displaystyle C=0}\), dan is de rechte lijn met vergelijking \({\displaystyle L=0}\) de zogeheten poollijn van \({\displaystyle P}\) bij die kegelsnede.

Uit de theorie van de poolverwantschap bij kegelsneden volgt dat de eerlijk-delentechniek voor het bepalen van de vergelijking van een poollijn bij alle typen reële kegelsneden kan worden toegepast.










Categorieën: Meetkunde | Algebraïsche meetkunde




Staat van informatie: 26.09.2021 06:41:22 CEST

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.