Differentieerbaarheid


(Doorverwezen vanaf Differentieerbaar)

Binnen de tegenwoordige wiskunde is differentieerbaarheid een van de grondbegrippen, met name binnen de analyse. Ruwweg noemt men een functie differentieerbaar als ze een afgeleide heeft. De term afleidbaar is een synoniem. Een van de grondleggers van dit begrip, dat ook veel wordt toegepast in de natuurkunde, is Isaac Newton.

Inhoud

Differentieerbaar in een punt


Een functie \({\displaystyle f}\) met als domein \({\displaystyle D}\) heet differentieerbaar in \({\displaystyle x\in D}\) als geldt dat de volgende limiet bestaat:

\({\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}\)

Deze limiet wordt de afgeleide waarde van \({\displaystyle f}\) in \({\displaystyle x}\) genoemd.

Meestal zal \({\displaystyle D}\) een deelverzameling van de reële getallen \({\displaystyle \mathbb {R} }\) zijn. Het quotiënt en de limiet blijven echter hun betekenis houden in (delen van) de complexe getallen \({\displaystyle \mathbb {C} }\); in dat geval heet de functie complex differentieerbaar als de limiet bestaat.

Als \({\displaystyle f}\) differentieerbaar is in \({\displaystyle x}\), is \({\displaystyle f}\) automatisch ook continu in \({\displaystyle x}\).

Differentieerbare functie


Een functie \({\displaystyle f}\) die differentieerbaar is in elk punt \({\displaystyle x\in D,}\) heet een differentieerbare functie.

De functie \({\displaystyle f}\) die in elk punt \({\displaystyle x\in D}\) de afgeleide waarde van \({\displaystyle x}\) als functiewaarde heeft, heet de afgeleide functie \({\displaystyle f'}\)van \({\displaystyle f}\).

Een functie die complex differentieerbaar is in een open verzameling \({\displaystyle D\subset \mathbb {C} ,}\) heet ook wel (complex) analytisch of holomorf. Complex differentieerbare functies zijn het centrale studieobject van de complexe analyse, ook wel functietheorie genoemd.

Voorbeelden


De functie \({\displaystyle f:x\mapsto |x|}\) met domein \({\displaystyle \mathbb {R} }\) is niet (overal) differentieerbaar, want de afgeleide in \({\displaystyle x=0}\) bestaat niet.

De functie \({\displaystyle g:x\mapsto x^{2}}\) met domein \({\displaystyle \mathbb {R} }\) is wel differentieerbaar. De afgeleide functie is \({\displaystyle g'(x)=2x.}\)

Meer dimensies


Het begrip differentieerbaarheid kan worden gegeneraliseerd tot meerdimensionale functies van meer dan één veranderlijke

\({\displaystyle f:D\subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}\)

Meer dan één veranderlijke

De uitbreiding voor \({\displaystyle n>1}\) (vectorwaardige functies) is niet zo moeilijk, omdat de limiet uit bovenstaande definitie ook nog gedefinieerd is voor vectoren in \({\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\). De functie \({\displaystyle f}\) kan geschreven worden in termen van componentfuncties

\({\displaystyle f(x)=(f_{1}(x),\ldots ,f_{n}(x))}\)

en \({\displaystyle f}\) is differentieerbaar dan en slechts dan als alle \({\displaystyle f_{i}}\) afzonderlijk differentieerbaar zijn.

Meerdimensionale functies

De uitbreiding voor \({\displaystyle m>1}\) ligt minder voor de hand, omdat het niet duidelijk is wat de limieten betekenen.

Een gedeeltelijke uitbreiding levert het begrip partiële differentieerbaarheid. We zeggen dat de functie van meer veranderlijken \({\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{m})}\) in het punt \({\displaystyle x_{0}=(x_{01},\ldots ,x_{0m})}\) partieel differentieerbaar is naar de \({\displaystyle i}\)-de veranderlijke \({\displaystyle x_{i}}\), als de functie

\({\displaystyle g_{i}(t)=f(x_{01},\ldots ,x_{0(i-1)},t,x_{0(i+1)}\ldots ,x_{0m})}\)

(gewoon) differentieerbaar is in \({\displaystyle x_{0i}}\). Merk op dat elke \({\displaystyle g_{i}}\) een functie is van \({\displaystyle \mathbb {R} }\) naar \({\displaystyle \mathbb {R} }\). De gewone afgeleide van deze functie van één veranderlijke heet partiële afgeleide van \({\displaystyle f}\) naar de \({\displaystyle i}\)-de veranderlijke, genoteerd als

\({\displaystyle {\partial f \over \partial x_{i}}(x_{01},\ldots ,x_{0(i-1)},x_{0i},x_{0(i+1)}\ldots ,x_{0m}=g'_{i}(x_{0i})}\)

Het bestaan van partiële afgeleiden in alle \({\displaystyle m}\) veranderlijken tegelijk is een zwakke eigenschap, en is bijvoorbeeld nog niet voldoende om continuïteit te garanderen. Daarom wordt meestal de volgende, engere definitie gehanteerd.

De functie \({\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{m})}\) heet totaal differentieerbaar in een punt \({\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{m},}\) als er een lineaire afbeelding

\({\displaystyle A:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}\),

bestaat met de eigenschap

\({\displaystyle \lim _{\|\Delta x\|\to 0}{\frac {\|f(x+\Delta x)-f(x)-A(\Delta x)\|}{\|\Delta x\|}}=0.}\)

Daarin stelt \({\displaystyle \|\cdot \|}\) de bekende euclidische norm voor. Verder is \({\displaystyle \Delta x}\) een vector in \({\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}\), waarvan in de limiet de norm willekeurig klein gemaakt wordt.

De lineaire afbeelding \({\displaystyle A}\) heet de (totale) afgeleide van \({\displaystyle f}\) in de vector \({\displaystyle x}\). In het geval \({\displaystyle m=1}\) is de lineaire afbeelding de vermenigvuldiging met het getal \({\displaystyle f'(x)}\).

Als \({\displaystyle f}\) totaal differentieerbaar is in \({\displaystyle x_{0},}\) is ze ook continu in \({\displaystyle x_{0}}\) én partieel differentieerbaar in elk van de \({\displaystyle m}\) veranderlijken afzonderlijk. De lineaire afbeelding \({\displaystyle A}\) kan worden voorgesteld door een matrix, de jacobi-matrix \({\displaystyle J(f)}\), met als elementen de verschillende partiële afgeleiden van \({\displaystyle f}\) in \({\displaystyle x_{0}:}\)

\({\displaystyle J(f)={\frac {\partial (f_{1},\cdots ,f_{n})}{\partial (x_{1},\cdots ,x_{m})}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{m}}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{m}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{m}}}\end{bmatrix}}}\),

Waarin alle elementen in het punt \({\displaystyle x_{0}}\) geëvalueerd moeten worden:

\({\displaystyle J(f)_{ij}={\partial f_{i} \over \partial x_{j}}(x_{0})}\)









Categorieën: Afgeleide




Staat van informatie: 30.10.2021 05:02:46 CEST

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.