Coördinatenruimte


In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is de coördinatenruimte \({\displaystyle F^{n}}\) het \({\displaystyle n}\)-voudige Cartesische product van het lichaam (Ned) / veld (Be) \({\displaystyle F}\). De coördinatenruimte \({\displaystyle F^{n}}\) bestaat uit de \({\displaystyle n}\)-tupels (rijtjes van \({\displaystyle n}\) elementen) van \({\displaystyle F}\), en analoog voor \({\displaystyle n}\) gelijk aan oneindig. Een coördinatenruimte is het prototypische voorbeeld van een vectorruimte met aftelbare dimensie.

Inhoud

Definitie


Voor een willekeurig lichaam (Ned) / veld (Be) \({\displaystyle F}\) (zoals de reële getallen \({\displaystyle \mathbb {R} }\) of de complexe getallen \({\displaystyle \mathbb {C} }\)) en natuurlijk getal \({\displaystyle n}\) wordt de ruimte \({\displaystyle F^{n}}\) van alle \({\displaystyle n}\)-tupels van elementen van \({\displaystyle F}\) de \({\displaystyle n}\)-dimensionale coördinatenruimte genoemd.

Deze coördinatenruimte is een \({\displaystyle n}\)-dimensionale vectorruimte over \({\displaystyle F}\).

Een element \({\displaystyle x}\) van \({\displaystyle F}\) is een rijtje

\({\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}\)

waarin elke \({\displaystyle x_{i}}\) een element is van \({\displaystyle F}\). De \({\displaystyle n}\) elementen \({\displaystyle x_{i}}\) heten de kentallen van de vector \({\displaystyle x}\). De \({\displaystyle n}\) vectoren \({\displaystyle x_{i}e_{i}=(0,\ldots ,0,x_{i},0,\ldots ,0)}\), waarin \({\displaystyle e_{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)}\) de \({\displaystyle i}\)-de eenheidsvector uit de standaardbasis is, heten de componenten van \({\displaystyle x}\). Een vector is de som van z'n componenten:

\({\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}}\)

Optelling en scalaire vermenigvuldiging op \({\displaystyle F^{n}}\) zijn gedefinieerd door

\({\displaystyle x+y=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})}\)

en

\({\displaystyle \alpha x=(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\ldots ,\alpha x_{n})}\)

De nulvector is

\({\displaystyle 0=(0,0,\cdots ,0)}\)

en de additieve inverse van de vector \({\displaystyle x}\) wordt gegeven door

\({\displaystyle -x=(-x_{1},-x_{2},\cdots ,-x_{n}).}\)

Matrixnotatie

De elementen van de coördinatenruimte \({\displaystyle F^{n}}\) worden ook wel in matrixnotatie geschreven als kolomvectoren

\({\displaystyle x={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}}\)

of soms als rijvectoren:

\({\displaystyle x={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\end{bmatrix}}.}\)

De coördinatenruimte \({\displaystyle F^{n}}\) kan dan worden geïnterpreteerd als de ruimte van alle \({\displaystyle n\times 1}\)-kolomvectoren of alle \({\displaystyle 1\times n}\)-rijvectoren, uitgerust met de gewone matrixoperaties van optellen en scalaire vermenigvuldiging.

Lineaire transformaties van \({\displaystyle F^{n}}\) naar \({\displaystyle F^{m}}\) kunnen dan worden geschreven als \({\displaystyle m\times n}\)-matrices, die via linkervermenigvuldiging (wanneer de elementen van \({\displaystyle F^{n}}\) kolomvectoren zijn) of rechtervermenigvuldiging (als het rijvectoren zijn) inwerken op de elementen van \({\displaystyle F^{n}}\).

Standaardbasis


De coördinatenruimte \({\displaystyle F^{n}}\) heeft als standaardbasis het stelsel eenheidsvectoren:

\({\displaystyle e_{1}=(1,0,\ldots ,0)}\)
\({\displaystyle e_{2}=(0,1,\ldots ,0)}\)
\({\displaystyle \vdots }\)
\({\displaystyle e_{n}=(0,0,\ldots ,1)}\)

waarin 1 de multiplicatieve identiteit in \({\displaystyle F}\) aanduidt.

Isomorfie


Alle \({\displaystyle n}\)-dimensionale vectorruimten over hetzelfde lichaam zijn met elkaar isomorf.

Zie ook











Categorieën: Lineaire algebra | Wiskundige ruimte




Staat van informatie: 23.12.2020 11:26:30 CET

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.