Bolcoördinaten


Bolcoördinaten vormen een driedimensionaal coördinatenstelsel, vergelijkbaar met het tweedimensionale stelsel van poolcoördinaten. Net als in twee dimensies wordt in drie dimensies de afstand \({\displaystyle r}\) van het punt P tot de oorsprong als eerste coördinaat gebruikt. De beide andere coördinaten zijn hoeken. De tweede coördinaat is de hoek \({\displaystyle \theta }\) die de lijn OP met de positieve z-as maakt, dus met een waarde in het interval \({\displaystyle [0,\pi ]}\). De derde coördinaat is de hoek \({\displaystyle \varphi }\) die de projectie van OP in het xy-vlak maakt met de positieve x-as. Opgemerkt moet worden dat de hier gebruikte notatie de gebruikelijke is in de de natuurkunde. In een wiskundige context worden vaak de rollen van \({\displaystyle \theta }\) en \({\displaystyle \varphi }\) omgewisseld, wat een bron van verwarring is. Ook wordt wel in plaats van \({\displaystyle r}\) het symbool \({\displaystyle \rho }\) gebruikt.

Het verband tussen de Cartesische coördinaten \({\displaystyle (x,y,z)}\) en de bolcoördinaten \({\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}\) wordt gegeven door:

\({\displaystyle x=r\,\sin(\theta )\cos(\varphi )}\)
\({\displaystyle y=r\,\sin(\theta )\sin(\varphi )}\)
\({\displaystyle z=r\,\cos(\theta )}\)

Op de z-as is het stelsel gedegenereerd: voor \({\displaystyle \theta =0}\) doet de hoek \({\displaystyle \varphi }\) niet ter zake en geldt \({\displaystyle (x,y,z)=(0,0,r)}\). Evenzo: voor \({\displaystyle \theta =\pi }\) geldt \({\displaystyle (x,y,z)=(0,0,-r)}\). Voor \({\displaystyle r=0}\) doen de hoeken \({\displaystyle \theta }\) en \({\displaystyle \varphi }\) niet ter zake en geldt \({\displaystyle (x,y,z)=(0,0,0)}\).

Inhoud

Jacobiaan


De Jacobi-matrix van deze transformatie is:

\({\displaystyle J={\frac {\partial (r,\theta ,\varphi )}{\partial (x,y,z)}}={\begin{bmatrix}{\frac {x}{r}}&{\frac {y}{r}}&{\frac {z}{r}}\\{\frac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin(\theta )\cos(\varphi )&\sin(\theta )\sin(\varphi )&\cos(\theta )\\{\frac {1}{r}}\cos(\theta )\cos(\varphi )&{\frac {1}{r}}\cos(\theta )\sin(\varphi )&-{\frac {1}{r}}\sin(\theta )\\-{\frac {1}{r}}{\frac {\sin(\varphi )}{\sin(\theta )}}&{\frac {1}{r}}{\frac {\cos(\varphi )}{\sin(\theta )}}&0\end{bmatrix}}}\)

Omgekeerd

\({\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{bmatrix}\sin(\theta )\cos(\varphi )&r\cos(\theta )\cos(\varphi )&-r\sin(\theta )\sin(\varphi )\\\sin(\theta )\sin(\varphi )&r\cos(\theta )\sin(\varphi )&r\sin(\theta )\cos(\varphi )\\\cos(\theta )&-r\sin(\theta )&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {x}{r}}&{\frac {zx}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&-y\\{\frac {y}{r}}&{\frac {zy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&x\\{\frac {z}{r}}&-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}&0\end{bmatrix}}}\)

Coördinatentransformatie


Een functie \({\displaystyle f}\) van de drie veranderlijken \({\displaystyle x}\), \({\displaystyle y}\) en \({\displaystyle z}\) krijgt in bolcoördinaten de gedaante:

\({\displaystyle f_{B}(r,\theta ,\varphi )=f(r\sin(\theta )\cos(\varphi ),r\sin(\theta ),\sin(\varphi ),r\cos(\theta ))}\)

Een vectorveld \({\displaystyle F}\), met in het punt \({\displaystyle (x,y,z)}\) de componenten

\({\displaystyle F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z)\,}\) en \({\displaystyle F_{z}(x,y,z)\,}\),

wordt ontbonden in een component langs de voerstraal \({\displaystyle r}\) en loodrecht daarop in een component in de "richting" van \({\displaystyle \varphi }\) en in de "richting" van \({\displaystyle \theta }\), de laatste rakend aan de cirkel om de oorsprong door \({\displaystyle r}\) in het vlak door \({\displaystyle r}\) en de z-as en de eerste loodrecht hierop, rakend aan de cirkel om de z-as, door \({\displaystyle r}\) en evenwijdig aan het xy-vlak. Voor deze componenten geldt:

\({\displaystyle F_{r}=F_{x}\sin(\theta )\cos(\varphi )+F_{y}\sin(\theta )\sin(\varphi )+F_{z}\cos(\theta )}\)
\({\displaystyle F_{\theta }=-F_{x}\sin(\varphi )+F_{y}\cos(\varphi )}\)
\({\displaystyle F_{\varphi }=F_{x}\cos(\theta )\cos(\varphi )+F_{y}\cos(\theta )\sin(\varphi )-F_{z}\sin(\theta )}\)

Omgekeerd:

\({\displaystyle F_{x}=F_{r}\cos(\varphi )\sin(\theta )-F_{\varphi }\sin(\varphi )+F_{\theta }\cos(\varphi )\cos(\theta )}\)
\({\displaystyle F_{y}=F_{r}\sin(\varphi )\sin(\theta )+F_{\varphi }\cos(\varphi )+F_{\theta }\sin(\varphi )\cos(\theta )}\)
\({\displaystyle F_{z}=F_{r}\cos(\theta )-F_{\theta }\sin(\theta )}\)

Voorbeeld

De functie \({\displaystyle f}\) gedefinieerd door:

\({\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}}\)

heeft in bolcoördinaten de vorm:

\({\displaystyle f_{B}(r,\theta ,\varphi )=f(r\sin(\theta )\cos(\varphi ),r\sin(\theta )\sin(\varphi ),r\cos(\theta ))=}\)
\({\displaystyle (r\sin(\theta )\cos(\varphi ))^{2}+(r\sin(\theta )\sin(\varphi ))^{2}+(r\cos(\theta ))^{2}=r^{2}}\)

Het vectorveld \({\displaystyle F}\) gedefinieerd door:

\({\displaystyle F_{x}(x,y,z)=x}\)
\({\displaystyle F_{y}(x,y,z)=y}\)
\({\displaystyle F_{z}(x,y,z)=z}\)

heeft in bolcoördinaten de vorm:

\({\displaystyle F_{r}(r,\theta ,\varphi )=F_{x}\sin(\theta )\cos(\varphi )+F_{y}\sin(\theta )\sin(\varphi )+F_{z}\cos(\theta )=}\)
\({\displaystyle x\sin(\theta )\cos(\varphi )+y\sin(\theta )\sin(\varphi )+z\cos(\theta )=r}\)
\({\displaystyle F_{\theta }(r,\theta ,\varphi )=-F_{x}\sin(\varphi )+F_{y}\cos(\varphi )=-x\sin(\varphi )+y\cos(\varphi )=0\,}\)
\({\displaystyle F_{\varphi }(r,\theta ,\varphi )=F_{x}\cos(\theta )\cos(\varphi )+F_{y}\cos(\theta )\sin(\varphi )-F_{z}\sin(\theta )=}\)
\({\displaystyle x\cos(\theta )\cos(\varphi )+y\cos(\theta )\sin(\varphi )-z\sin(\theta )=0}\)

Coördinaten op een boloppervlak


Een boloppervlak met straal \({\displaystyle R}\) heeft in bolcoördinaten de vergelijking \({\displaystyle r=R}\) indien als oorsprong het middelpunt van de bol wordt gekozen. Op het boloppervlak heeft men zo een coördinatenstelsel met de twee overige coördinaten. Bovengenoemde \({\displaystyle \theta }\) wordt vaak vervangen door zijn complement. Het verband tussen de cartesische coördinaten \({\displaystyle x,y,z}\) en de bolcoördinaten \({\displaystyle \theta ,\varphi }\) op het boloppervlak met straal \({\displaystyle r}\) wordt dan dus gegeven door: (merk op dat deze formules niet overeen komen met de tekening op deze pagina hierboven; dit komt omdat er een andere keuze is gemaakt voor de hoeken)

\({\displaystyle x=r\,\cos(\theta )\cos(\varphi )}\)
\({\displaystyle y=r\,\cos(\theta )\sin(\varphi )}\)
\({\displaystyle z=r\,\sin(\theta )}\)

Per toepassing, waaronder geografische coördinaten en diverse variaties van astronomische coördinatenstelsels, variëren de gebruikte termen, maar een systeem van gemeenschappelijke termen (eventueel tussen aanhalingstekens geschreven) is als volgt: voor \({\displaystyle \theta }\) breedte, voor \({\displaystyle \varphi }\) lengte, voor het punt \({\displaystyle \theta =\pi /2}\) noordpool, voor het punt \({\displaystyle \theta =-\pi /2}\) zuidpool, en voor het vlak \({\displaystyle \theta =0}\) basisvlak, evenaar of equator.

Er kan nog gekozen worden in welke richting geldt dat de hierboven met \({\displaystyle \theta }\) aangeduide parameter nul is, en in welke daarop loodrechte richting \({\displaystyle \varphi =0}\).

Geografische coördinaten corresponderen met een x-, y- en z-as volgens de rechterhandregel, met een positieve x-as die de Aarde snijdt in 0° NB 0° OL, een positieve y-as in 0° NB 90° OL en een positieve z-as in 90° NB. Als oosterlengte positief gerekend wordt correspondeert deze volgens de rechterhandregel met de positieve z-richting.

Zie ook











Categorieën: Meetkunde




Staat van informatie: 12.05.2021 05:21:34 CEST

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.