Bol (lichaam)


Een bol is een driedimensionaal lichaam bestaande uit de punten die ten hoogst op een bepaalde afstand van een gegeven punt liggen. De gegeven afstand heet de straal en het gegeven punt het middelpunt van de bol. Het oppervlak van een bol is de sfeer met hetzelfde middelpunt en dezelfde straal als de bol. Een bol is het driedimensionale analogon van een cirkelschijf, en kan verkregen worden als omwentelingslichaam bij draaiing van een cirkelschijf om een middellijn.

Inhoud

Definitie


Een bol is de verzameling van alle punten in een driedimensionale euclidische ruimte die ten hoogste een gegeven afstand, de straal, liggen van een gegeven punt, het middelpunt van de bol. De bol \({\displaystyle B(m,r)}\) met straal \({\displaystyle r>0}\) en middelpunt \({\displaystyle m\in \mathbb {R} ^{3}}\) is

\({\displaystyle B(m,r)=\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid \|x-m\|\leq r\}}\)

De zo gedefinieerde bol wordt wel gesloten bol genoemd, ter onderscheidng van een open bol, waarvan het begrenzende oppervlak niet tot de open bol gerekend wordt.

De eenheidsbol is de bol \({\displaystyle B(0,1)}\) met de oorsprong als middelpunt en straal 1.

Andere dimensies


In de hogere wiskunde generaliseert men het begrip van een bol (en zijn rand, de sfeer) naar willekeurige dimensies. De terminologie is niet eenduidig. In willekeurige dimensies wordt een bol als lichaam ook volle bol of bal genoemd, terwijl het oppervlak, behalve als bol en boloppervlak, ook als sfeer wordt aangeduid. Een open bol of open bal is een volle bol zonder de sfeer.

Eigenschappen


De oppervlakte van een bol of sfeer met straal \({\displaystyle r}\) is

\({\displaystyle A=4\pi r^{2}}\)

Het volume van een bol met straal \({\displaystyle r}\) is

\({\displaystyle V={\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}}\)

Merk op dat de afgeleide van de inhoud van een bol naar de straal, de oppervlakte is. Dit geldt ook in hogere dimensies en voor de lagere dimensie.

Afleiding van het volume


Het volume is de volume-integraal over de punten die voldoen aan:

\({\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq r^{2}}\)

De integraal is het dubbele van de integraal over de bovenste helft, en de integratie over \({\displaystyle x}\) en \({\displaystyle y}\) bij een gegeven waarde van \({\displaystyle z}\) levert de oppervlakte \({\displaystyle \pi (r^{2}-z^{2})}\) van de cirkel ter hoogte \({\displaystyle z}\), met straal \({\displaystyle {\sqrt {r^{2}-z^{2}}}}\), dus:

\({\displaystyle V=\iiint _{x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq r^{2}}\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z=2\int _{0}^{r}\pi (r^{2}-z^{2})\mathrm {d} z=2\pi \left[r^{2}z-{\tfrac {1}{3}}z^{3}\right]_{z=0}^{r}={\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}}\)

Men kan zich dit zo voorstellen dat de bol bestaat uit schijven met dikte \({\displaystyle \mathrm {d} z}\) loodrecht op de z-as, met op de hoogte \({\displaystyle z}\) een straal \({\displaystyle {\sqrt {r^{2}-z^{2}}}}\), en dus een oppervlakte \({\displaystyle \pi (r^{2}-z^{2})}\). Het totaal van deze schijven, de integraal, is het volume.

Een andere voorstelling om het volume te bepalen is om de bol gecentreerd op een 2-dimensionaal vlak voor te stellen, met het middelpunt van de bol in de oorsprong van een coördinatenstelsel.

Waar de bol het 2-dimensionale vlak snijdt vormt zich een cirkel. Uit de stelling van Pythagoras volgt dat de formule van een cirkel met het middelpunt in de oorsprong:

\({\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}\)

Opgedeeld in verticale schijven dwars op dit 2-dimensionaal vlak kan de oppervlakte van elk van deze schijven als volgt bepaald worden, aangezien de straal van elke schijf van de bol gelijk is aan de y-coördinaat door bovenstaande functie beschreven.

\({\displaystyle A=\pi y^{2}=\pi (r^{2}-x^{2})}\)

Wat vervolgens voor de gehele bol geïntegreerd kan worden tot het volume ervan:

\({\displaystyle V=\pi \int _{-r}^{r}(r^{2}-x^{2})dx=\pi \left[r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-r}^{r}=\pi \left(r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}+r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)=\pi {\frac {3r^{3}-r^{3}+3r^{3}-r^{3}}{3}}={\frac {4\pi r^{3}}{3}}}\)

Wiskundige vergelijking


In cartesische coördinaten

In cartesische coördinaten kan een bol met straal \({\displaystyle r}\) en middelpunt \({\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}\) weergegeven worden door de vergelijking:

\({\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}\leq r^{2}}\).

Parametervergelijking

In bolcoördinaten ten opzichte van het middelpunt luidt de vergelijking:

\({\displaystyle x=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi }\)
\({\displaystyle y=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \qquad (0\leq \varphi <2\pi {\mbox{ en }}0\leq \theta \leq \pi )}\)
\({\displaystyle z=z_{0}+r\cos \theta }\)

Differentiaalvergelijking

Elk boloppervlak (sfeer) wordt beschreven door de differentiaalvergelijking

\({\displaystyle x\,{\rm {d}}x+y\,{\rm {d}}y+z\,{\rm {d}}z=0}\)

Voorbeelden


De bol heeft als eigenschap dat hij van alle mogelijke driedimensionale vormen met dezelfde inhoud de kleinst mogelijke oppervlakte heeft. Door het aannemen van deze vorm wordt bijvoorbeeld een minimale energie verkregen uit de oppervlaktespanning. Als gevolg hiervan zijn veel voorwerpen in de natuur bolvormig. Voorbeelden van bolvormen in de natuur zijn:

Perfect bolvormige voorwerpen bestaan niet in de natuur. Zelfs een zwaar hemellichaam zoals de aarde is door de draaiing om zijn as enigszins afgeplat aan de polen (ellipsoïde). Ook de andere planeten en de sterren zijn min of meer bolvormig.

In veel sporten gebruikt men een bolvormig speelobject, een bal.

Licht of geluid afkomstig van een puntbron plant zich in een homogeen medium in alle richtingen even snel voort. Dit duidt men aan met bolvormige uitstraling of bolvormige voortplanting.

Woningen in een bolvorm zijn energiezuiniger omdat ze met hetzelfde woonoppervlak langs minder oppervlak warmte verliezen aan de buitenlucht en de wind krijgt er minder vat op waardoor er nog minder warmte verloren gaat. In de Bossche wijk Maaspoort staan 50 bolwoningen die verhuurd worden als sociale huurwoning, ontworpen door architect Dries Kreijkamp.

Zie ook


Zie de categorie Spheres van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.









Categorieën: Ruimtelijke figuur | Oppervlak




Staat van informatie: 10.05.2021 11:16:11 CEST

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.