Bijectie


In de wiskunde is een bijectie of bijectieve afbeelding een afbeelding die zowel injectief als surjectief is, en dus alle elementen van twee verzamelingen in een-op-eencorrespondentie aan elkaar koppelt. Bijectief wil dus zeggen (zie plaatje rechts) dat elk element uit de verzameling \({\displaystyle X}\) gekoppeld is aan precies één element uit de verzameling \({\displaystyle Y}\) en dat omgekeerd ook elk element van de verzameling \({\displaystyle Y}\) gekoppeld is aan precies één element uit de verzameling \({\displaystyle X}\).

Een bijectie van de verzameling \({\displaystyle X}\) op de verzameling \({\displaystyle Y}\) heeft een inverse functie van \({\displaystyle Y}\) naar \({\displaystyle X}\). Als \({\displaystyle X}\) en \({\displaystyle Y}\) eindige verzamelingen zijn, betekent het bestaan van een bijectie dat beide verzameling hetzelfde aantal elementen hebben. Voor oneindige verzamelingen is het ingewikkelder; het leidt tot het concept van een kardinaalgetal, een manier om te onderscheiden tussen de verschillende grootten van oneindige verzamelingen.

Een bijectieve functie van een verzameling op zichzelf wordt wel een permutatie genoemd.

Bijectieve functies zijn essentieel voor veel deelgebieden binnen de wiskunde, waaronder de definities van isomorfisme, homeomorfisme, diffeomorfisme en permutatiegroep.

De term 'bijectieve afbeelding' werd geïntroduceerd door Bourbaki.

Inhoud

Definitie


Een bijectie tussen twee verzamelingen \({\displaystyle X}\) en \({\displaystyle Y}\) (niet noodzakelijk verschillend), is een functie of afbeelding:

\({\displaystyle f:X\to Y}\)

die injectief is, dus verschillende elementen uit \({\displaystyle X}\) afbeeldt op verschillende elementen uit \({\displaystyle Y}\) en ook surjectief is, dus alle elementen in \({\displaystyle Y}\) aan een element van \({\displaystyle X}\) koppelt, dus waarvoor geldt:

Gelijkmachtigheid


In de verzamelingenleer worden twee verzamelingen gelijkmachtig of equipotent genoemd als er een bijectie tussen de verzamelingen bestaat. Zo worden de verzamelingen \({\displaystyle \{1,2,3\}}\) en \({\displaystyle \{4,8,12\}}\) gelijkmachtig genoemd, omdat de afbeelding \({\displaystyle f:\{1,2,3\}\rightarrow \{4,8,12\}}\) met \({\displaystyle f(x)=x\cdot 4}\), bijectief is.

Voor eindige verzamelingen is het begrip gelijkmachtig dus precies hetzelfde als "evenveel elementen". Voor oneindige verzamelingen echter wordt het begrip "evenveel elementen" vaag, maar gelijkmachtig of equipotent niet. Cantor was de eerste die verzamelingen op deze manier met elkaar vergeleek.

Zo zijn de verzameling van de natuurlijke getallen en de verzameling van de gehele getallen gelijkmachtig want het is mogelijk een bijectie tussen beiden te vinden. Neem de volgende afbeelding van \({\displaystyle \mathbb {N} }\) naar \({\displaystyle \mathbb {Z} }\):

Meer algemeen:

\({\displaystyle 2n\,\mapsto \,n\quad {\mbox{en}}\quad 2n+1\,\mapsto \,-n-1}\)

Dit is een bijectie want elk natuurlijk getal heeft een eenduidig beeld, en elk geheel getal wordt precies één keer bereikt. Ook de verzameling van rationale getallen \({\displaystyle \mathbb {Q} }\) is gelijkmachtig met deze twee. De verzameling van reële getallen \({\displaystyle \mathbb {R} }\) is echter niet gelijkmachtig met de drie vorige, maar dan wel met \({\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\) voor elke gehele waarde van n groter dan 0.

Voorbeelden en tegenvoorbeelden


Voorbeeld 1

\({\displaystyle A=\{1,2,3\},\quad B=\{-7,3,10\}}\)
\({\displaystyle f:A\to B}\), met \({\displaystyle f(1)=-7,\ f(2)=3,\ f(3)=10}\)

De functie \({\displaystyle f}\) is een bijectie: 1 wordt aan -7 gekoppeld, 2 aan 3 en 3 aan 10. Geen enkel element uit B blijft over, en geen enkel element uit \({\displaystyle B}\) wordt aan 2 elementen uit \({\displaystyle A}\) gekoppeld.

Voorbeeld 2

\({\displaystyle A=[2,3],\quad B=[2,4]}\)
\({\displaystyle f:A\to B}\), met \({\displaystyle f(x)=2x-2}\)

Ook deze functie \({\displaystyle f}\) is een bijectie. Zo wordt bijvoorbeeld 2,5 aan 3 gekoppeld, 2,9 aan 3,8, en 3 aan 4. Een andere bijectieve afbeelding tussen deze verzamelingen \({\displaystyle A}\) en \({\displaystyle B}\) is:

\({\displaystyle g(x)=x^{2}-3x+4}\)

Tegenvoorbeeld 1

\({\displaystyle A=\{1,2,3\},\quad B=\{-7,3,10\}}\)
\({\displaystyle f:A\to B}\), met \({\displaystyle f(1)=3,\ f(2)=3,\ f(3)=10}\)

Dit is geen bijectie, enerzijds omdat -7 niet gekoppeld wordt en dus is ze niet surjectief, en anderzijds omdat 3 aan zowel 1 als 2 gekoppeld wordt, is ze niet injectief. Een bijectie is zowel injectief als surjectief, hieruit volgt dat \({\displaystyle f}\) niet bijectief is.

Tegenvoorbeeld 2

\({\displaystyle A=[-1,1],\quad B=[0,1]}\)
\({\displaystyle f:A\to B}\), met \({\displaystyle f(x)=x^{2}}\)

Dit is geen bijectie. Het is wel zo dat elk element van \({\displaystyle B}\) gekoppeld wordt aan een element van \({\displaystyle A}\), maar sommige elementen van \({\displaystyle B}\) worden aan twee verschillende elementen van \({\displaystyle A}\) gekoppeld. Zo is bijvoorbeeld \({\displaystyle f(-1)=f(1)=1}\).

Tegenvoorbeeld 3

\({\displaystyle A=[0,1],\quad B=[0,2]}\)
\({\displaystyle f:A\to B}\), met \({\displaystyle f(x)=x+1}\)

Dit is geen bijectie, want \({\displaystyle f}\) is niet surjectief omdat niet alle elementen uit \({\displaystyle B}\) worden gekoppeld aan een element uit \({\displaystyle A}\). Het element 0 in \({\displaystyle B}\) bijvoorbeeld is van geen enkel element uit \({\displaystyle A}\) het beeld. De functie \({\displaystyle f}\) is wel injectief, want geen twee elementen uit \({\displaystyle A}\) worden gekoppeld aan hetzelfde element van \({\displaystyle B}\).

Zie ook


Voetnoten











Categorieën: Relaties op verzamelingen




Staat van informatie: 25.09.2021 05:31:12 CEST

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.