Diverse takken van de wiskunde gebruiken het adjectief begrensd om aan te geven dat een object eindige afmetingen heeft.
In de meetkunde heet een deelverzameling \({\displaystyle V}\) van het vlak of de ruimte begrensd als er een bovengrens \({\displaystyle D}\) bestaat voor alle onderlinge afstanden tussen punten van \({\displaystyle V}\):
De verzameling van dergelijke getallen \({\displaystyle D}\) vormt een gesloten halve rechte, en het minimum van die rechte is de diameter van \({\displaystyle V}\).
Bovenstaande definitie maakt geen gebruik van de bijzondere vorm van de afstandsfunctie van de Euclidische ruimte, en gaat dus ongewijzigd over op willekeurige (pseudo-)metrische ruimten.
Een reële functie \({\displaystyle f}\) heet begrensd als haar waardebereik (beeld) een begrensde deelverzameling van \({\displaystyle \mathbb {R} }\) is, t.t.z. als er getallen \({\displaystyle m<M}\) bestaan zodat \({\displaystyle \forall x:m\leq f(x)\leq M}\). De kleinst mogelijk bovengrens \({\displaystyle M}\) heet supremum van \({\displaystyle f}\), de grootst mogelijke ondergrens \({\displaystyle m}\) is het infimum van \({\displaystyle f}\).
Deze definitie van begrensdheid gaan ongewijzigd over op willekeurige afbeeldingen tussen een verzameling \({\displaystyle A}\) en een (pseudo)metrische ruimte \({\displaystyle X}\).
In een lokaal convexe topologische vectorruimte wordt de topologie voortgebracht door een scheidende familie seminormen. Elke seminorm brengt een pseudometriek \({\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}\) voort. In dergelijke ruimten zijn de volgende twee voorwaarden op een deelverzameling \({\displaystyle A}\) gelijkwaardig:
De tweede voorwaarde heeft nog zin in algemene topologische vectorruimten, en geldt daar als definitie van begrensdheid.
Een lineaire afbeelding \({\displaystyle T:V\to W}\) tussen twee topologische vectorruimten \({\displaystyle V}\) en \({\displaystyle W}\) (operator) heet begrensd als ze begrensde delen van \({\displaystyle V}\) afbeeldt op begrensde delen van \({\displaystyle W}\).
Als \({\displaystyle V}\) en \({\displaystyle W}\) Banachruimten zijn, dan is dit gelijkwaardig met de eis dat \({\displaystyle T}\) continu is. In het algemeen is elke continue lineaire operator begrensd, maar niet omgekeerd.
Als het domein van een functie de structuur van een maatruimte \({\displaystyle (A,{\mathcal {A}},\mu )}\) draagt, zijn we geïnteresseerd in de vraag of de functie begrensd is "op een nulverzameling na". Men noemt een functie \({\displaystyle f:A\to \mathbb {C} }\) essentieel begrensd als er een begrensde functie bestaat waaraan ze bijna overal gelijk is:
Bovenstaande uitdrukking heet het essentieel supremum van \({\displaystyle f}\). Het is het supremum van de absolute waarde van \({\displaystyle f}\) op eventuele nulverzamelingen na. Equivalentieklassen van essentieel begrensde functies vormen de ruimte \({\displaystyle L^{\infty }}\) (zie Lp-ruimte).
Categorieën: Topologie | Wiskundige analyse
