Aftelbare verzameling


Een aftelbare verzameling is in de wiskunde een verzameling waarvan de elementen afgeteld kunnen worden. Dat houdt in dat de elementen op een rij gezet kunnen worden met een eerste element, een tweede element, enzovoort, waarbij alle elementen aan de beurt komen. De eenvoudigste aftelbare verzamelingen zijn de eindige verzamelingen.

Een aftelbare verzameling is niet noodzakelijk eindig. Zo zijn ook de gehele getallen aftelbaar. We zetten ze als volgt in een rij om geteld te worden: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, enz. Het tellen van de elementen stopt weliswaar nooit, maar elk element komt aan de beurt.

Er zijn ook verzamelingen die overaftelbaar zijn, dat wil zeggen niet aftelbaar. Een verzameling is dus eindig, aftelbaar oneindig, of overaftelbaar.

Definitie


Een aftelbaar oneindige verzameling \({\displaystyle S}\) is een verzameling die gelijkmachtig is met \({\displaystyle \mathbb {N} }\), d.w.z. dat er een bijectie \({\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to S}\) bestaat.

De volgende definities zijn equivalent: Een verzameling \({\displaystyle S}\) is aftelbaar als:

Eigenschappen


Stel dat \({\displaystyle S_{1}}\) tot en met \({\displaystyle S_{n}}\) aftelbaar zijn, met \({\displaystyle n}\) een natuurlijk getal. Dan zijn er \({\displaystyle n}\) surjectieve functies \({\displaystyle f_{i}}\) tussen de natuurlijke getallen en \({\displaystyle S_{i}}\). Die surjectieve functies kunnen gecombineerd worden tot één surjectieve functie:
\({\displaystyle f\colon \mathbb {N} ^{n}\to \prod _{i=1}^{n}S_{i}:(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\mapsto f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})=(f_{1}(x_{1}),f_{2}(x_{2})\ldots f_{n}(x_{n}))}\)
Daar \({\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}\) aftelbaar is voor elke natuurlijke \({\displaystyle n}\), zal ook \({\displaystyle \prod _{i=1}^{n}S_{i}}\) aftelbaar zijn.

Voorbeelden


\({\displaystyle (0,0),(0,1),(1,0),(2,0),(1,1)(0,2),(3,0),(2,1),\ldots }\)
Eerst worden dus de paren met som 0 opgeschreven, dan die met som 1, daarna met som 2, enzovoort. Deze procedure kan uitgebreid worden naar een willekeurig eindige macht van \({\displaystyle \mathbb {N} }\).









Categorieën: Verzamelingenleer | Kardinaalgetal




Staat van informatie: 25.09.2021 07:09:01 CEST

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.