Afgeleide


   Ten minste één Wikipediagebruiker vindt dat de onderstaande inhoud, of een gedeelte daarvan, samengevoegd zou moeten worden met Eerste afgeleide, of dat er een duidelijkere afbakening tussen deze artikelen dient te worden gemaakt  (hier melden).

In de wiskunde is de afgeleide of het differentiaalquotiënt een maat voor verandering van een functie ten opzichte van verandering van zijn variabelen. Voor een functie in één variabele is de afgeleide de limiet van de verhouding tussen de verandering in de functiewaarde en de verandering in de variabele die daaraan ten grondslag ligt. Het begrip differentiaalquotiënt is historisch ontstaan, doordat de veranderingen het verschil, de differentie, zijn tussen een oorspronkelijke waarde en een kleine afwijking daarvan.

Voor een functie in één reële variabele wordt de afgeleide in een punt gegeven door de helling van de raaklijn aan de grafiek van deze functie in dat punt. Het woord "afgeleide" is hier in feite een afkorting van "afgeleide waarde". Het is een waarde die van de oorspronkelijke functie is afgeleid. Het bepalen van de afgeleide van een functie heet differentiëren.

Als de afgeleide van een functie f gedefinieerd is voor alle punten in het domein van f, wordt de daardoor bepaalde functie de afgeleide functie of kortweg de afgeleide genoemd. Het concept van de afgeleide van een functie werd in de 17e eeuw vrijwel tegelijkertijd door Isaac Newton en Gottfried Leibniz bedacht.

Differentiëren is de omgekeerde bewerking van integreren.

Inhoud

Notatie


De afgeleide, ook eerste afgeleide, van een functie \({\displaystyle f}\) met variabele \({\displaystyle x}\) wordt genoteerd als \({\displaystyle f^{\prime }}\), spreek uit "\({\displaystyle f}\)-accent", of als het differentiaalquotiënt \({\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}}\). De notatie \({\displaystyle \operatorname {D} \!f}\) wordt ook gebruikt.

Varianten in de notatie zijn: \({\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)}\) of eenvoudigweg \({\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}}\).

Als \({\displaystyle y=f(x)}\), schrijft men soms \({\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}\), \({\displaystyle \operatorname {D} \!y}\) of \({\displaystyle y^{\prime }}\), of om verwarring te voorkomen \({\displaystyle y_{x}^{\prime }}\).

Hogere afgeleiden worden op dezelfde manier genoteerd. Zo wordt de tweede afgeleide geschreven als \({\displaystyle f\,''}\), of soms als \({\displaystyle D_{2}f}\), en de \({\displaystyle n}\)-de afgeleide als \({\displaystyle f^{(n)}}\). Ook als hogere differentiaalquotiënten gebruikt men

\({\displaystyle f\,''={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d^{2}} f}{\mathrm {d} x^{2}}}}\) of \({\displaystyle {\frac {\mathrm {d^{2}} }{\mathrm {d} x^{2}}}f(x)}\)

en

\({\displaystyle f^{(n)}={\frac {\mathrm {d^{n}} f}{\mathrm {d} x^{n}}}}\) of \({\displaystyle {\frac {\mathrm {d^{n}} }{\mathrm {d} x^{n}}}f(x)}\)

Voorbeeld


Een fietser rijdt langs een rechte weg. De weg die hij heeft afgelegd in de tijd \({\displaystyle t}\) sinds hij begon te fietsen, is \({\displaystyle s(t)}\). Hoe snel fietste hij op het tijdstip \({\displaystyle t_{0}}\)? Zijn snelheid wordt min of meer bepaald door de afstand die hij aflegde in de tijd \({\displaystyle \Delta t}\) na het tijdstip \({\displaystyle t_{0}.}\) Deze afstand is:

\({\displaystyle \Delta s=s(t_{0}+\Delta t)-s(t_{0})}\)

Zijn gemiddelde snelheid in die periode was:

\({\displaystyle {\bar {v}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}}\)

Hoe kleiner de periode \({\displaystyle \Delta t}\) is, hoe meer de gemiddelde snelheid de snelheid \({\displaystyle v(t_{0})}\) op het tijdstip \({\displaystyle t_{0}}\) zal benaderen. Die snelheid is de limiet voor \({\displaystyle \Delta t}\) naar 0 en heet de afgeleide van \({\displaystyle s(t)}\) naar \({\displaystyle t}\):

\({\displaystyle v(t_{0})=s'(t_{0})={\frac {{\rm {d}}s}{{\rm {d}}t}}(t_{0})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}\,{\Bigg |}_{t=t_{0}}}\)

Raaklijn


Laat \({\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }\) een continue functie zijn. De raaklijn in het punt \({\displaystyle (x,f(x))}\) aan de grafiek van \({\displaystyle f}\) verkrijgt men door een koorde te beschouwen tussen de punten \({\displaystyle (x,f(x))}\) en \({\displaystyle (x+\Delta x,f(x+\Delta x))}\) en de afstand \({\displaystyle \Delta x}\) steeds kleiner te nemen.

De helling van de koorde door de twee punten is

\({\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}\)

Als de limiet voor afnemende \({\displaystyle \Delta x}\) bestaat, is deze limiet de richtingscoëfficiënt van de raaklijn en wordt de afgeleide van \({\displaystyle f}\) in het punt \({\displaystyle x}\) genoemd.

Definitie


De afgeleide van de functie \({\displaystyle f}\) die differentieerbaar is in het punt \({\displaystyle a}\) van het domein, is gedefinieerd als:

\({\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}\)

Als de functie in het hele domein differentieerbaar is, heet \({\displaystyle f'}\) de afgeleide functie, die ook genoteerd wordt als:

\({\displaystyle f'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)={\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}}\)

Een equivalente definitie, die eenvoudiger gegeneraliseerd kan worden naar functies van meer variabelen, is de volgende:

Als er een reëel getal \({\displaystyle L}\) en een functie \({\displaystyle r}\) bestaan, zodat voor alle \({\displaystyle h}\) geldt

\({\displaystyle f(a+h)=f(a)+L\cdot h+r(h)}\)

en bovendien \({\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {r(h)}{h}}=0}\), dan is \({\displaystyle L}\) de afgeleide van \({\displaystyle f}\) in \({\displaystyle a}\).

Meer variabelen

Een functie \({\displaystyle f}\) in meer variabelen kan naar ieder van de variabelen apart worden gedifferentieerd. Een partiële afgeleide van \({\displaystyle f}\) is in dat geval een afgeleide van \({\displaystyle f}\), waarbij alleen naar één variabele de afgeleide is genomen en de anderen variabele als constanten zijn beschouwd. De richtingsafgeleide breidt dit uit naar een willekeurige eenheidsvector.

Afgeleiden van elementaire functies


\({\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {c-c}{h}}=0}\)
\({\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {x+h-x}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {h}{h}}=1}\)
\({\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h}}=}\)
\({\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\frac {x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2xh+h^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}(2x+h)=2x}\)
\({\displaystyle f(x+h)=(x+h)^{n}=x^{n}+nhx^{n-1}+r(x,h)=f(x)+hnx^{n-1}+r(x,h)}\)
met
\({\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {r(x,h)}{h}}=0}\),
dus:
\({\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}}\)
Voor \({\displaystyle n=1}\) is de bovenstaande afleiding niet geldig voor \({\displaystyle x=0}\), omdat \({\displaystyle 0^{0}}\) niet gedefinieerd is. Bijgevolg geldt de bovenstaande formule voor de afgeleide van \({\displaystyle x^{n}}\) voor \({\displaystyle n>1}\). De formule kan geldend gemaakt worden door de afspraak dat hier zal gelden dat 00 = 1.
De afgeleide van \({\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}=x^{-1}}\) is:
\({\displaystyle f'(x)=-1\cdot x^{-1-1}=-x^{-2}={\frac {-1}{x^{2}}}}\)
De afgeleide van \({\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}}\) is:
\({\displaystyle f'(x)={\tfrac {1}{2}}x^{{\frac {1}{2}}-1}={\tfrac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}={\tfrac {1}{2{\sqrt {x}}}}}\)
\({\displaystyle f(x+h)=e^{x+h}=e^{x}(1+h+{\tfrac {1}{2}}h^{2}+\ldots )=f(x)+he^{x}+r(x,h)}\)
met
\({\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {r(x,h)}{h}}=0}\),
dus:
\({\displaystyle f'(x)=e^{x}}\)
\({\displaystyle f'(x)=e^{a\log(x)}a\log '(x)=a\,x^{a}{\frac {1}{x}}=a\,x^{a-1}}\)
Deze afleiding is moeilijker dan de drie bovenstaande en vereist universitaire kennis met betrekking tot continuïteit en de e-macht. Verderop in dit artikel staat een vlotte, elegante afleiding via de kettingregel.
Noem ten behoeve van notatie: \({\displaystyle 1/h=q}\).
\({\displaystyle \lim _{h\downarrow 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln(x)}{h}}=\lim _{h\downarrow 0}{\tfrac {1}{h}}\ln \left({\frac {x+h}{x}}\right)=}\)
\({\displaystyle =\lim _{q\to \infty }q\ln \left(1+{\tfrac {1}{qx}}\right)=\lim _{q\to \infty }\ln \left(\left(1+{\tfrac {1}{qx}}\right)^{q}\right)=}\)
(Gebruik continuïteit van de logaritme om de limiet en logaritme te verwisselen)
\({\displaystyle =\ln \left(\lim _{q\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{qx}}\right)^{q}\right)}\)
\({\displaystyle =\ln \left(\lim _{q\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{qx}}\right)^{qx}\right)^{\frac {1}{x}}}\)
(Gebruik een karakterisering van de e-macht)
\({\displaystyle =\ln \left(e^{\frac {1}{x}}\right)={\frac {1}{x}}}\)
Analoog:
\({\displaystyle \lim _{h\uparrow 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln(x)}{h}}=\lim _{h\uparrow 0}{\tfrac {1}{h}}\ln \left({\frac {x+h}{x}}\right)=}\)
\({\displaystyle =\lim _{q\to {-\infty }}q\ln \left(1+{\tfrac {1}{qx}}\right)=\lim _{|q|\to \infty }\ln \left(\left(1-{\tfrac {1}{|q|x}}\right)^{-|q|}\right)={\frac {1}{x}}}\)
Omdat linker- en rechterlimiet gelijk zijn, geldt:
\({\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x}}}\)
De afleiding van de afgeleide van de sinus berust op de gehanteerde definitie, bijvoorbeeld de reeksdefinitie.
\({\displaystyle \sin '(x)=\cos(x)}\)
\({\displaystyle \cos '(x)=(\sin({\tfrac {\pi }{2}}-x))'=\sin '({\tfrac {\pi }{2}}-x)({\tfrac {\pi }{2}}-x)'=\cos({\tfrac {\pi }{2}}-x)(-1)=-\sin(x)}\)
\({\displaystyle \tan '(x)={\frac {\sin '(x)\cos(x)-\sin(x)\cos '(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}}\)
\({\displaystyle \cot '(x)={\frac {\cos '(x)\sin(x)-\cos(x)\sin '(x)}{\sin ^{2}(x)}}={\frac {-(\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x))}{\sin ^{2}(x)}}={\frac {-1}{\sin ^{2}(x)}}}\)
\({\displaystyle \arcsin '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}\)
\({\displaystyle \arccos '(x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}\)
\({\displaystyle \arctan '(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}\)
\({\displaystyle \operatorname {arccot} '(x)={\frac {-1}{1+x^{2}}}}\)
\({\displaystyle \sinh '(x)=\cosh(x)}\)
\({\displaystyle \cosh '(x)=\sinh(x)}\)

Rekenregels


\({\displaystyle (af)'(x)=af'(x)}\)
\({\displaystyle (f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)}\)
\({\displaystyle (f\cdot g)'(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)}\)
\({\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'(x)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}}\)
\({\displaystyle (f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)}\)
\({\displaystyle (f^{-1})'(x)={\frac {1}{f'(f^{-1}(x))}}}\)

Toepassing van de rekenregels

Met behulp van de rekenregels kan een eenvoudiger afleiding gegeven worden voor de afgeleide van de logaritme. De logaritme is de inverse van de e-macht, dus:

\({\displaystyle 1=x'=\left(e^{\ln(x)}\right)'=e^{\ln(x)}\ln '(x)=x\ln '(x)}\)

dus:

\({\displaystyle \ln '(x)={\frac {1}{x}}}\).

We vinden ook de regel voor de vierkantswortel:

\({\displaystyle \left({\sqrt {f}}\right)'={\frac {f'}{2{\sqrt {f}}}}}\) mits \({\displaystyle f(x)>0}\).

Met behulp van de kettingregel kan ook de afgeleide van \({\displaystyle f(x)=a^{x}}\) worden bepaald, namelijk

\({\displaystyle f(x)=a^{x}=e^{\ln(a^{x})}=e^{x{\ln(a)}}}\),

en dus:

\({\displaystyle f'(x)=e^{x{\ln(a)}}{\ln(a)}=a^{x}{\ln(a)}}\)

Niet differentieerbaar


De functie \({\displaystyle f(x)=|x|}\) is weliswaar continu in het punt 0, maar daar niet differentieerbaar. Er geldt namelijk:

\({\displaystyle \lim _{h\downarrow 0}{\frac {f(h)-f(0)}{h}}=\lim _{h\downarrow 0}{\frac {h}{h}}=1}\)

en

\({\displaystyle \lim _{h\uparrow 0}{\frac {f(h)-f(0)}{h}}=\lim _{h\uparrow 0}{\frac {-h}{h}}=-1}\)

De linker- en rechterlimieten zijn ongelijk aan elkaar. Dit is aan de vorm van de grafiek van de functie ook goed te zien.

De functie signum of "het teken" van \({\displaystyle x}\):

\({\displaystyle f(x)=\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{als }}x<0\\0&{\mbox{als }}x=0\\1&{\mbox{als }}x>0\end{cases}}}\)

is niet continu in het punt 0 en dus daar niet differentieerbaar. Er geldt:

\({\displaystyle \lim _{h\downarrow 0}{\frac {f(h)-f(0)}{h}}=\lim _{h\downarrow 0}{\frac {1-0}{h}}=\infty }\)

en

\({\displaystyle \lim _{h\uparrow 0}{\frac {f(h)-f(0)}{h}}=\lim _{h\uparrow 0}{\frac {-1-0}{h}}=\infty }\)

Functies van meer dan één variabele


Als de functie \({\displaystyle f}\) van meer dan één veranderlijke afhangt, kan men alle veranderlijken op een na een constante waarde geven en de afgeleide ten opzichte van de ene overblijvende veranderlijke bestuderen. Deze afgeleiden heten partiële afgeleiden.

Het artikel differentieerbaarheid bespreekt hoe de afgeleide van een functie van \({\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}\) naar \({\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\) kan worden opgevat als een matrix.

Afgeleiden van hogere orden


Is van een functie \({\displaystyle f}\) de afgeleide \({\displaystyle f^{\prime }}\) ook differentieerbaar, dan is het mogelijk hiervan de afgeleide \({\displaystyle f''=(f')'}\) te bepalen. Deze heet de afgeleide van de tweede orde, of kortweg tweede afgeleide van \({\displaystyle f}\). Ook nog hogere afgeleiden komen voor. De \({\displaystyle n}\)-de afgeleide van \({\displaystyle f}\) wordt, als deze bestaat, aangeduid met \({\displaystyle f^{(n)}}\), of als \({\displaystyle f}\) een functie is van de variabele \({\displaystyle x}\) ook als:

\({\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}f}{\mathrm {d} x^{n}}}}\),   of \({\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}f(x)}{\mathrm {d} x^{n}}}}\)

De hogere afgeleiden van een functie \({\displaystyle y=f(x)}\) kunnen bepaald worden uit de betrekking

\({\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}f(x+kh)}{h^{n}}}}\)

Fractionele afgeleiden


Het is ook mogelijk afgeleiden van niet-gehele orde te definiëren, bijvoorbeeld van orde \({\displaystyle p=1{,}5}\). Deze hebben met integralen gemeen dat hun waarde van zowel een boven- als een ondergrens afhangt. Bij afgeleiden van gehele orde is dit niet zo. Een van de manieren waarop een dergelijke fractionele afgeleide bepaald kan worden is door eerst een functie aan fouriertransformatie te onderwerpen, vervolgens te vermenigvuldigen met de frequentie \({\displaystyle \omega }\) tot de macht \({\displaystyle p}\), en daarna weer terug te transformeren.

Toepassingen


Belangrijke toepassingen vindt de afgeleide in de wiskunde. Zo kan een maximum of minimum van een functie gevonden worden door de afgeleide te bepalen. Indien een functie voor een bepaalde \({\displaystyle x}\)-waarde een (lokaal) maximum of een (lokaal) minimum bereikt, dan is de afgeleide van de functie op dat punt indien deze bestaat gelijk aan nul, en wisselt bij de daaropvolgende \({\displaystyle x}\)-waarden van teken (wordt positief of juist negatief). Om een grafiek van een functie met de hand te tekenen is het daarom zinvol eerst de eventuele maxima en minima te bepalen. Om te bepalen of de punten waarin de afgeleide gelijk is aan nul maxima of minima zijn wordt soms gebruikgemaakt van de Hessiaan.

Een toepassing van de tweede afgeleide is het volgende. Indien \({\displaystyle x}\) een punt is waarvoor geldt dat \({\displaystyle f'(x)=0}\), dan is het punt \({\displaystyle x}\) een buigpunt, een lokaal maximum of een lokaal minimum. Deze drie gevallen kunnen onderscheiden worden door naar waarde \({\displaystyle f''(x)}\) van de tweede afgeleide in het punt \({\displaystyle x}\) te kijken. Als \({\displaystyle f''(x)<0}\), is er sprake van een lokaal maximum, en als \({\displaystyle f''(x)>0}\), is er een lokaal minimum. Is \({\displaystyle f''(x)=0}\), dan is nader onderzoek nodig van het verloop van de tweede afgeleide in een omgeving van \({\displaystyle x}\) om een uitspraak (buigpunt, lokaal maximum, lokaal minimum) te kunnen doen.

Veel toepassingen heeft de afgeleide ook in de natuurkunde. Zo is bijvoorbeeld de snelheid de afgeleide bij het berekenen van plaats als functie van tijd. De versnelling is (bij een rechtlijnige beweging) dan weer de afgeleide van de snelheid.

Ook binnen de economie heeft de afgeleide verschillende toepassingen, zeker sinds de zogenaamde "marginale revolutie" binnen de economische wetenschap. Via de afgeleide kunnen we begrippen als marginale opbrengst en marginale kosten berekenen. In deze gevallen gaat het om de afgeleide van de totale opbrengst en de totale kosten.

Vaak gebruikte afgeleiden


Websites


Wikibooks heeft meer over dit onderwerp: Inleiding afleiden.









Categorieën: Wikipedia:Samenvoegen | Afgeleide | Mechanica | Wiskundige analyse




Staat van informatie: 20.06.2021 08:05:11 CEST

oorsprong: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie: CC-BY-SA-3.0

Veranderingen: Alle afbeeldingen en de meeste ontwerpelementen die daarmee verband houden, zijn verwijderd. Sommige pictogrammen werden vervangen door FontAwesome-Icons. Sommige sjablonen zijn verwijderd (zoals 'artikel heeft uitbreiding nodig') of toegewezen (zoals 'hatnotes'). CSS-klassen zijn verwijderd of geharmoniseerd.
Specifieke Wikipedia-links die niet naar een artikel of categorie leiden (zoals 'Redlinks', 'links naar de bewerkpagina', 'links naar portals') zijn verwijderd. Elke externe link heeft een extra FontAwesome-Icon. Naast enkele kleine wijzigingen in het ontwerp, werden mediacontainer, kaarten, navigatiedozen, gesproken versies en Geo-microformats verwijderd.

Belangrijke opmerking Omdat de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia wordt gehaald, was en is een handmatige verificatie niet mogelijk. Daarom garandeert LinkFang.org niet de juistheid en actualiteit van de verkregen inhoud. Als er informatie is die momenteel verkeerd is of een onjuiste weergave heeft, aarzel dan niet om Neem contact op: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.